三维非均匀多孔介质中单相流动的有限分析数值格式

摘要

油藏数值模拟是油气藏开发过程中的必要环节。实际油藏地层往往具有强非均质的特征，这给油藏数值模拟带来相当程度的困难。传统数值算法取相邻网格渗透率的调和平均值作为网格间平均渗透率，这一作法会带来不可控的误差，大大低估流量。本文将研究三维非均匀多孔介质中单相稳态渗流的高效有限分析算法。
　　本文首先针对渗透率为标量的情况，引入准二维假设，即沿三维控制体棱方向的压力梯度为有限值，而垂直于棱方向的压力梯度将趋于无穷大，因而可以忽略沿棱方向的压力梯度。通过准二维假设，结合二维类拉普拉斯方程在奇点邻域内的幂律解析解，可以得到三维控制体沿棱邻域内的近似解析解，在此基础上进一步构建了用于求解三维类拉普拉斯方程的有限分析法。数值结果表明，只需对原始网格进行2×2×2或3×3×3细分，算法的相对误差即在5％以下;更重要的是，有限分析算法的精度不依赖于介质的非均质性强度。而传统数值计算方法为达到一定精度，需要对原始网格进行细分，介质非均匀性越强，细分程度越高，即传统算法精度依赖于介质的非均匀性强度，误差不可控。本文利用该有限分析算法，对Landau、Lifshitz和Matheron提出的LLM假设进行了数值验证。LLM假设认为渗透率满足各向同性对数正态分布的非均匀介质的等效渗透率为keq/kG=exp[(1/2-1/D)σ2 lnk]，式中kG为样本渗透率的几何平均值，D为空间维数，σ2lnk为渗透率对数值的方差。而本文有限分析法的模拟结果支持Desbarats的线性关系式keq/kG=1+σ2lnk/6，这说明在三维情况下，当σlnk较大时，LLM假设高估了等效渗透率。
　　其次，针对渗透率为张量的情况，仍可以沿用准二维假设。但和渗透率为标量的情况不同，沿棱方向的压力梯度虽仍为有限值，但会在垂直于棱的平面上诱导出相应的跨界面流量。如忽略该诱导流量，仍利用二维幂律解析解，可构建相应的有限分析算法Ⅰ，该算法相对简单，也具有较高的精度。如考虑该诱导流量，控制体棱邻域内的近似解析解可表示成二维幂律解叠加上一个诱导线性解，基于此，可构建相应的有限分析算法Ⅱ。数值计算结果表明，有限分析算法Ⅱ比Ⅰ具有更高的精度。对有限分析算法Ⅰ而言，当对原始网格进行4×4×4细分时，算法对主流方向（压力差方向）流量计算的相对误差在10％以下;对有限分析算法Ⅱ而言，相应的相对误差在8.5％以下。另一方面，与有限分析算法Ⅰ相比，算法Ⅱ在计算垂直于边界压力差方向的流量时计算精度有了进一步的提高，在对原始网格进行4×4×4细分时，垂直于边界压力差方向的流量的相对误差的最大值仅为6.2％。此外，我们还对比了传统的MPFA算法，与MPFA法相比，在网格细分条件下，有限分析算法具有很快的收敛速度，且不受介质非均质性强度的影响。
　　本文所构造的有限分析数值格式用于求解三维类拉普拉斯方程，因此可广泛应用于非均匀介质中的相关物理问题的数值求解;如稳态导热、静电场及质量扩散等。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 油藏数值模拟的意义及油气渗流模型

1．2 油藏的非均质性

1．2．1 油藏非均质性的成因

1．2．2 油藏非均质性的分类

1．2．3 非均匀介质的等效渗透率及其求解方法简介

1．3 非均匀介质渗流方程的常规数值方法

1．3．1 标量渗透率情况下的常规数值方法

1．3．2 张量渗透率情况下的常规数值方法

1．4 有限分析法及其在渗流领域的应用

1．5 本文的研究工作

第2章 单相不可压稳态渗流的控制方程及常规数值方法

2．1 单相不可压稳态渗流的压力控制方程

2．2 非均匀介质渗流方程的常规数值离散格式

2．2．1 标量渗透率情况下的差分格式

2．2．2 张量渗透率情况下的MPFA格式

第3章 三维非均匀介质标量渗透率单相渗流高精度有限分析格式的构造及验证

3．1 二维角点附近压力的幂律解

3．2 三维流动中的准二维特性

3．3 三维空间单相渗流的高精度有限分析计算格式的构造

3．4 边界条件

3．5 准二维假设的数值验证

3．6 数值算例

3．6．1 棋盘型分布算例

3．6．2 对数正态分布随机型算例

3．6．3 幂函数分布随机型算例

3．6．4 LLM假设的验证

3．7 本章小结

第4章 三维非均匀介质张量渗透率单相渗流高精度有限分析格式的构造及验证

4．1 公共棱邻域内的压力局部解析解

4．2 忽略沿棱压力梯度的有限分析格式Ⅰ

4．2．1 有限分析格式Ⅰ的节点方程

4．2．2 有限分析格式Ⅰ的边界条件

4．2．3 算例与分析

4．3 考虑沿棱压力梯度的有限分析格式Ⅱ

4．3．1 有限分析格式Ⅱ的节点方程

4．3．2 算例与分析

4．4 有限分析格式Ⅰ与有限分析格式Ⅱ的对比

4．5 本章小结

第5章 总结与展望

5．1 全文工作总结

5．1．1 标量渗透率情况下的有限分析格式

5．1．2 张量渗透率情况下的有限分析格式

5．2 本文工作创新点

5．3 未来工作展望

参考文献

附录

致谢

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