Dirchlet Laplace算子的Courant特征值和K最小划分

摘要

本文主要讨论k最小划分和Courant特征值之间的关系。很多数学家关注k最小划分问题，例如P.Bérard，B.Helffer和林芳华。k最小划分表明了如何将一个区域分成k块时能量是最小的。但是证明一个划分是不是最小划分是很困难的，即使二维单位圆盘的3最小划分问题还没有解决。幸运的是由Courant特征函数生成的划分提供了一些最小划分的例子。我们将在本文中介绍Courant特征值和k最小划分的定义和基本性质，并给出一些例子。Courant特征函数的零点划分一定是最小划分，但是反过来不一定成立。本文的主要定理是给出一些判断何时一个k最小划分是Courant特征函数的零点划分的充分条件。在文章的最后将介绍一些当k比较小的时候的k最小划分的例子。

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摘要

ABSTRACT

Contents

1 Introduction

2 Courant Sharp Eigenvalues

3 Examples of Courant sharp eigenvalues

3．1 Square

3．2 Disc

3．3 Cube

3．4 Torus

3．5 Upper bound estimation of Courant sharp eigenvalues

4 k-minimal partitions

5 Examples of k-minimal partitions

5．1 Minimal partitions produced by Courant sharp eigenfunctions

5．2 Topology of 3-minimal partitions

5．3 3-minimal partitions of the unit disc

References

致谢