复张量的特征值分解算法

摘要

随着信息时代的快速发展，张量问题成为各领域的热门研究对象，而复张量的特征值问题在量子纠缠领域具有重要的研究意义。　　本文主要是研究计算对称复张量的US-特征值的问题。而US-特征值可以看作是Z-特征值从实数域到复数域的推广，它和高阶张量的最佳复秩一逼近问题密切相关。目前计算复张量特征值的方法虽然不少，但是均在特征对个数、最大特征值及计算准确性等方面各有所长。而本文借助最优化理论中的算法来计算复张量的特征对，再将Bai等人提出的BFGS法作为对比算法，从最大特征值、成功率及运行时间等方面给出各算法的优劣性。　　首先，本文利用Wirtirnger微积分的知识，给出了实值复变函数的二阶复Taylor展式。并从复张量特征值求解的等价非线性方程组问题出发，将实数域上求解非线性方程组的阻尼Newton法推广到复数域上，提出了计算复张量US-特征对的方法，并且给出了算法的收敛性和收敛速度。从数值实例可以看出，该算法计算的最大特征值与BFGS法一样，且成功率最高提高了18％。　　接着，本文将非线性方程组问题转化为最小二乘问题，充分利用目标函数的二阶导信息，将实数域上经典Levernberg-Marquardt洼推广到复数域上。此算法在兼具梯度法和牛顿法优点的同时，还决解了计算过程中系数矩阵奇异的问题，同样给出了算法的收敛性和收敛速度。从数值实验的结果可以看出，该算法不仅保证了阻尼Newtorn法的成功率，而且与阻尼Newton法相比，运行速度最大减少了98％;与BFGS法相比，运行速度最大减少了89％。　　最后，利用非对称复张量特征值与其嵌入对称复张量特征值之间的关系，将本文所提算法运用到非对称复张量U-特征值的计算上。同样从数值实例可以看出，算法求得的特征值不仅与BFGS法一样，而且阻尼Newtocn法将其成功率提高了18.2％；Levenberg-Marquardt法将其成功率提高18.4％的同时，还将运行速度减少了84％。充分证明了本文所提算法的优越性。

目录

声明

第1章绪论

1.1.1张量的发展及应用

1.1.2复张量特征值的研究意义

1.2国内外研究现状

1.4本文工作的主要研究成果与创新

1.5本文内容的具体结构与安排

第2章预备知识

2.2实值复优化问题的Wirtinger微积分知识

2.3章节小结

第3章求解复张量特征值的阻尼Newton法

3.1阻尼Newton法

3.2收敛性分析

3.3章节小结

第4章求解复张量特征值的Levenberg-Marquardt法

4.2收敛性分析

4.3章节小结

第5章数值实验

5.1计算对称复张量的US-特征对

5.2计算非对称复张量的U-特征对

5.3章节小结

结论与展望

参考文献

附录A发表的论文和参加科研情况说明

附录B数值实验中的详细结果

致谢