一类平面自仿测度的非谱性研究

摘要

Mandelbrot通过观察自然界中随处可见的“天空中的云彩”,“海岸线”,“山脉”等现象,在1975年提出了分形的概念.分形不仅在物理,化学,生物,地理以及经济学等社会科学有着广泛的应用,而且与数学紧密联系,传统的欧式几何主要研究规则的几何形体,自然界有众多的形状是不规则,支离破碎的,分形几何研究的便是这类形体.随着研究的深入,分形几何成为了一个数学重要的分支.它与数学其它分支的交叉研究日益加深,例如分形上的概率论,数论,调和分析,复分析等等.分形几何与调和分析交叉研究的一个轰动数学界的成果是:Jorgensen和Perdersen第一次发现了奇异非原子测度(四分Cantor测度)μ所对应的L2(μ)空间的函数可以Fourier展开(具有指数正交基EΛ={e2πi〈λ,x〉∶λ∈Λ}).我们称具有以上性质的μ为谱测度,Λ为谱.这一惊人的发现吸引了众多数学家的关注,使分形上的Fourier分析研究成为当今数学研究的热点.　　在这篇论文中,我们研究一类自仿测度的谱性,考虑三元整数字集D={(00),(αβ),(γη)}?Z2和二阶整数扩张矩阵M∈M2(Z)满足αη?βγ(/∈)3Z和det(M)∈3Z.设μM,D是M和D生成的自仿测度,我们主要研究μM,D的谱性.全文一共分为四章,具体安排如下:　　第一章主要介绍了自仿测度的谱和非谱测度的背景,最新动态,主要结果,创新点以及研究展望.　　第二章给出了自仿测度的相关知识,引理和命题.　　第三章,我们将数字集和矩阵进行分类:数字集分类成{Tn}4n=1,矩阵分类成{Sm}4m=1,分别见(1.5),(1.7).我们证明了如果a+d(/∈)3Z且存在n使得数字集D∈Tn和矩阵M(/∈)Sn,则μM,D为非谱测度.一个自然的问题是正交指数函数的个数是否有限?如果有限,确定最大个数.我们得到了L2(μM,D)空间至多包含3个正交指数函数,且个数3是最好的.　　第四章,如果a+d∈3Z且存在n使得D∈Tn和M(/∈)Sn,则L2(μM,D)空间包含无穷多个正交指数函数,且μM,D为非谱测度.　　本文对数字集D和矩阵M进行了巧妙的分类,避免了对D和M穷举,改进了μM,D的谱性研究方法.通过本文的研究,μM,D的谱性已经完整的解决,并且为高阶整数扩张矩阵和多元整数数字集谱性研究提供了一些思路.

目录

声明

第 1 章 绪论

1.1 研究背景及发展现状

1.2 主要结论

1.3 创新点

1.4 研究展望

第 2 章 预备知识

2.1 基本概念

2.2 自仿测度μM,D是谱测度的相关引理

2.3 自仿测度μM,D是非谱测度的相关引理

第 3 章 L2(μM,D) 包含有限个正交指数函数

3.1 重要引理和命题

3.2 定理1.2.1 证明

第 4 章 L2(μM,D) 包含无限个正交指数函数

4.2 μM,D为非谱测度

参考文献

附录A攻读学位期间所完成的学术论文目录

致谢