边界元法反求解二维位势问题的边界条件

摘要

在工程结构中经常会遇到这样的问题，即部分边界上的物理量不便直接测量，而是通过其它边界上已知量来确定。从数学的角度来看，这属于反问题的一种。对于复杂结构的反问题，通常采用数值方法求解，如有限元法、有限差分法、边界元法等。因为边界元法仅利用边界量进行求解，故对于上述一类反问题分析有较大优势。　　过去边界元法求解薄体结构存在着几乎奇异积分的困难，目前几乎奇异积分问题己得到成功解决，解析积分算法也已成功应用于分析二维位势问题常规结构和薄体结构。本文在此基础上，首先介绍了几乎奇异积分及奇异值分解方法的基本理论，引用并分析了二维位势边界元法中几乎奇异积分的解析积分算法，再采用奇异值分解方法，对常规和薄体结构位势反问题实施了正则化。特别对二维薄体位势边界元法，成功实现了几乎奇异积分和不适定反问题的双重正则化。本文用边界元方法计算了二维位势各向同性常规结构和薄体结构以及二维位势正交各向异性常规结构及薄体结构的Cauchy边值问题。文中给出了较多数值算例，证明了该法的有效性。

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致谢

第一章绪论

§1.1力学数值方法概述

§1.2边界元法的发展

§1.3位势、反问题及反热传导问题概述

1.3.1位势问题

1.3.2反问题及反热传导问题概述

§1.4本文的工作背景及主要内容

1.4.1本文工作背景

1.4.2本文主要内容

第二章奇异值分解方法（Singular Value Decomplosition）

§2.1矩阵的奇异值分解

§2.2矩阵的奇异值分解的另一种形式

§2.3奇异值分解方法

2.3.1对于方阵的S V D法

2.3.2对于非方阵的情况

第三章二维各向同性位势反问题

§3.1各向同性材料常规结构位势反问题

3.1.1位势问题的边界积分方程

3.1.2边界单元离散

3.1.3系数矩阵的形成

3.1.4对角元素的计算

3.1.5Cauchy边值问题的正则化

3.1.6数值算例及结论

§3.2各向同性材料薄体结构位势反问题

3.2.1几乎奇异积分的解析积分算法

3.2.2数值算例及结论

第四章二维正交各向异性位势反问题

§4.1正交各向异性常规结构位势反问题

4.1.1正交各向异性常规结构位势反问题

4.1.2数值算例及结论

§4.2正交各向异性薄体结构位势反问题

第五章全文总结

§5.1全文总结

§5.2展望

参考文献