关于延迟索赔风险模型的研究

摘要

风险理论是数学和保险精算的核心研究领域之一，而风险理论中最具研究意义就是破产理论，它可以从定量层面来分析和判断一个保险公司是否稳健经营。因此，越能够刻画现实的模型，就越有指导意义。目前关于风险理论的大多数研究都是在独立平稳增量过程的假设上进行的，这个假设过于理想化。本文从索赔可能延迟发生这个角度展开研究，分别讨论了副索赔为两种和n种的情况。　　首先考虑副索赔为两种的情况。在Erlang(n)风险模型中，假设索赔的发生遵循以下过程：主索赔的发生不导致任何副索赔发生或者导致其中一种副索赔，并且由主索赔导致的副索赔与主索赔有可能一起发生，也有可能延迟一个时间间隔发生。利用全概率公式和辅助模型得到了生存概率的微分积分方程组，并假设索赔额服从相同参数的指数分布时，推导出生存概率的具体表达式。为了分析不同参数对模型的影响，利用数据对模型进行模拟，得到以下结论：（1）保持其他条件不变，随着单位时间保费率的减少，生存概率也逐渐降低；（2）当副索赔和主索赔一起发生的概率θ逐渐减小时，也就是减少了索赔的总额，所以生存概率逐渐增加；（3）保持其他条件不变，随着初始盈余的减小，生存概率也逐渐降低。最后与保险业实际经营管理策略相结合，给出具有实际意义的建议。　　然后考虑副索赔为n种的情况。风险模型中索赔发生的过程为：主索赔的发生导致其中一种副索赔，并且由主索赔导致的副索赔与主索赔有可能一起发生，也有可能延迟一个时间间隔发生。本文讨论了两类带延迟索赔的风险模型，第一类是假设主索赔发生的时间间隔服从Erlang(n)分布的风险模型，借助全概率公式和辅助模型，计算出生存概率满足的微分积分方程；第二类风险模型中主索赔发生的计数过程满足泊松过程，利用辅助模型、拉格朗日插值定理、歇儒定理以及Laplace变换证明了Gerber-Shiu罚金折现函数满足的瑕疵更新方程并得到了Gerber-Shiu罚金折现函数的表达式。最后，为了分析不同参数对模型的影响，利用数据对模型进行模拟，得到以下结论：（1）保持其他条件不变，随着初始盈余的减小，生存概率也逐渐降低。（2）在其他条件不变时，当副索赔服从的密度函数的期望越大，生存概率逐渐降低。（3）在其他条件不变的情况下，当初始盈余足够大时，即使存在不同强度的副索赔，它们的影响也比较有限。

目录

1 绪论

1.1 研究背景及意义

1.1.1 研究背景

1.1.2 研究意义

1.2 研究现状

1.2.1 Erlang(n)风险模型

1.2.2 带延迟索赔的风险模型

1.3 主要工作以及创新点

1.3.1 主要工作

1.3.2 创新点

2 预备知识

2.1 卷积和Laplace变换

2.1.1 卷积

2.1.2 Laplace 变换

2.2 泊松过程以及复合泊松过程

2.3 更新过程以及更新方程

2.4 风险理论基础

2.4.1 经典风险模型基础

2.4.2 Erlang(n)风险模型

3 一类具有两种副索赔的Erlang(n)风险模型

3.1 具有两种副索赔的Erlang(n)模型

3.2 微分方程组

3.3 生存概率的具体表达式

3.4 数值算例及建议

3.4.1 数值算例

3.4.2 结果分析及建议

3.5 总结

4 两类具有n种副索赔的风险模型

4.1 Erlang(n)风险模型的生存概率

4.1.1生存概率满足的微分积分方程

4.1.2 生存概率的满足的微分方程

4.2 具有n 种副索赔的复合泊松风险模型

4.2.1 Gerber-Shiu罚金折现函数满足的微分积分方程组

4.2.2 Gerber-Shiu罚金折现函数的Laplace 变换

4.2.3 Gerber-Shiu罚金折现函数满足的瑕疵更新方程

4.3 数值算例

4.4 总结

5 结论以及展望

5.1 结论

5.2 展望

参考文献

附录

A. 作者在攻读学位期间发表的论文目录

B. 学位论文数据集

致谢