基于样条函数的微分方程数值解研究

摘要

样条函数在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元、小波及微分方程数值解等领域中均有较为广泛的应用。如：在实际工程中所遇到的微分方程，而一般情况下，很难求出其解析解，因此，研究微分方程的数值解方法是十分重要和必要的。本文主要研究了用各类样条函数构造有实际应用背景的常微分方程和偏微分方程初值、边值问题的数值解方法，给出了求解几类边值问题的数值方法，并对所给方法的精度和收敛性进行理论分析。 第一章绪论，介绍各类样条函数及微分方程初、边值问题的研究背景。 第二章讨论了各类样条在求解常微分方程数值解中的应用，主要是对已有的，特别是近几年来的新方法进行了总结与比较。在此基础上，本文做了以下工作，一、采用多步差分法求解一类二阶奇异摄动边值问题，利用了已有的边界方程，分析了数值方法的局部截断误差、精度，给出了数值算例；二、应用三次非多项式样条求解一类四阶边值问题，通过调整参数的值，可得到不同的误差精度，取半结点作为网格点，以避免最大误差累积在节点处，同时构建了新的边界方程，并计算参考文献中的数值例子，与之前计算结果作比较。本章还简要叙述了矩阵样条在矩阵微分方程中的应用。 第三章讨论了非多项式样条、均匀B样条在求解偏微分方程数值解中的应用。在此基础上，本文采用半离散化方法，用差分方法离散时间变量，非多项式样条离散空间变量，取半结点作为网格点，利用多步法重新构建边界方程，给出了一类四阶抛物型微分方程的数值方法，并讨论了数值解法的截断误差及稳定性分析，具体的数值算例也显示了这种方法的有效性；本文还介绍了应用均匀B样条求解一类双曲型方程边值问题的方法。类似的方法还可以用于求解其它类型的偏微分方程问题。 第四章总结全文并对未来的工作进行了展望。

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致谢

第一章绪论

1各类样条函数

1.1多项式样条

1.2三次样条插值

1.3非多项式、参数样条

2微分方程初、边值问题

第二章常微分方程边值问题数值解法

1多步法与两点奇异摄动边值问题

1.1基于级数展开的多步差分法

1.2边界方程的建立

1.3方法的收敛分析

1.4数值例子与计算结果比较

2三次非多项式样条与四阶边值问题

2.1问题及数值方法

2.2边界方程的建立

2.3方程应用分析

2.4数值例子及结果比较

3其它应用简介

3.1矩阵样条与矩阵常微分方程

第三章：样条在偏微分方程数值解中的应用

1三次非多项式样条与四阶抛物型方程

1.1引言

1.2数值方法

1.3截断误差和稳定性分析

1.4数值例子

2三次非多项式样条解双曲方程

2.1引言

2.2数值方法

2.3截断误差和稳定性分析

2.4数值例子

3样条函数与其他类型的偏微分方程

第四章总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间完成的论文