有限环上线性码及其自对偶码的研究

摘要

纠错码理论的理论基础是由数学为支撑。在实际应用中，它的发展则源于现代通信电子计算机技术中差错控制的研究的需要。随着信息技术的发展，编码理论得到迅速的发展。尤其是二十世纪九十年代，人们发现一些高效的二元非线性码可以看作是Z4上线性码在Gray映射下的二元象，有限环上的编码理论获得重要突破。自此，有限环上的编码理论成为研究的热点。 本文主要讨论线性纠错码，就编码理论研究的热点--环上码做了一些工作。 本文的组织结构如下： 第一章综述回顾编码理论研究的历史及概况，以及当前编码理论研究的若干发展方向，并在最后陈述本文的工作。 第二章概述Z4码的基本概念和环F2+uF2上的线性码C和其对偶码。最后，介绍环R上循环码与其剩余码及挠码的关系。 第三章研究环F2+uF2+---+ukF2上的自对偶码。证明得到环R'上自对偶码存在的一个充分必要条件。然后定义(F2+uF2+…+ukF2)n到(F2+uF2)n的一个映射，利用此映射研究自正交码的一些性质。最后，定义环R'上的Gray映射φ：R'→ F22k，证明当C是R'上的长度为n的线性码，且k>3时，φ(C)是自正交的。

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文摘

英文文摘

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致谢

第一章绪论

1.1纠错编码理论

1.2纠错码的发展史

1.3目前研究的现状

1.4本文的主要内容

第二章 有限环上线性码的结构

2.1 Z4码

2.2环F2+uF2上的线性码及其对偶码的生成矩阵

2.3环F2+uF2上线性码及其对偶码的Gray像

2.4环F2+uF2上循环码与其剩余码和挠码的关系

第三章 有限链环上的自对偶码

3.1环F2[u]／(uk+1)上的生成矩阵和高阶挠码

3.2环F2[u]／(uk+1)上的自对偶码

3.3构造(F2[u]／(uk+1))n到(F2+uF2)n的新映射φ

3.4环F2[u]／(uk+1)上的Gray映射

3.5小结

第四章总结和展望

参考文献

攻读硕士学位期间的研究成果