环F>+uF>上循环码和常循环码的若干问题的研究

摘要

经典的编码理论是以有限域上的向量空间为背景。二十世纪九十年代，人们发现一些高效的二元非线性码可以看作是Z4上的线性码在Gray映射下的二元象，有限环上的编码理论获得重要突破。自此，有限环上的编码理论成为研究的热点。本文主要研究了环R=Fpm+uFpm上长为pk的循环码和循环自对偶码的结构和计数，探讨了常循环码的置换等价性及其结构和计数；还研究了当(n，p)=1时环R上常循环码的置换等价性和Gray像的结构。具体内容如下：
　　 1.利用等价代换给出了环R上长为pk的循环码的唯一表示方法，并在此基础上得到了循环码的码字个数及对偶码的唯一表示；
　　 2.讨论了环R上长为pk的循环自对偶码的充要条件，给出了其计数，并列出了当p=3，k=1和k=2时的所有循环自对偶码;
　　 3.探讨了当(n，p)=1时环R上(1+αu)-常循环码、(ξi+αu)-常循环码的置换等价性，并给出了其Gray像的结构；
　　 4.研究了环R上长为pk的α-常循环码、(uβ-α)-常循环码的置换等价性及其计数，并给出了α-常循环自对偶码的计数。

目录

文摘

英文文摘

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致谢

第一章绪论

1.1 纠错编码理论

1.2 纠错码的发展史

1.3 目前研究的现状

1.4 本文的主要内容

第二章 基础知识和基本定理

2.1 有限域的基本理论

2.1.1 有限域的特征

2.1.2 不可约多项式的根

2.1.3 有限域上的多项式

2.2 环Z4上码的基本概念

2.2.1 Z4码的定义

2.2.2 Z4码的生成矩阵

2.3 有限链环上的码的预备知识

2.3.1 线性码、对偶码和自对偶码

2.3.2有限链环

2.3.3 有限链环上的循环码和常循环码

2.4 环Fpm+uFpm上的码的基本概念

第三章 环Fpm+uFpm上长为pk的循环码及其自对偶码计数

3.1 S上的理想计数

3.2 S中的对偶理想及自对偶理想

3.3 小结

第四章环Fpm+uFpm上的常循环码

4.1 当(n，p)=1时环Fpm+uFpm上的常循环码

4.1.1 (1+αu)-常循环码，α ∈Fpm及其Gray像

4.1.2 (ξi+αu)-常循环码，i∈Zpmα∈Fpm及其Gray像

4.1.3 例题

4.2 当码长n=pk时环Fpm+uFpm上的常循环码

4.2.1 α-常循环码及其计数，其中α∈F*pm

4.2.2 (uβ-α)-常循环码，其中α，β∈F*pm

4.3 小结

第五章总结与下一步研究计划

参考文献

攻读硕士期间的研究成果