信息安全中常循环纠错码的代数理论研究与应用

摘要

纠错编码理论作为现代数学和计算机科学的一个交叉研究领域，无论是对于数学本身还是信息安全领域都起着日益重要的作用。经过将近70年的发展，有限域上的经典纠错码在理论上获得系统而全面的研究，同时也在工程实践中得到广泛应用。随着纠错码理论的深入发展，有限环上纠错码的极其重要的理论意义和应用价值也逐渐被人们认识。有限环上的纠错编码理论成为近年来纠错码理论研究的热点问题之一。有限环上常循环码与自对偶码的研究是有限环上纠错码研究的重点。20世纪末，量子计算与量子通信被广泛关注。与数字通信情况一样，量子纠错码理论是量子信息传输得以实现的必要保障之一。1998年，Calderbank等人建立了量子纠错码的数学表达形式，并且给出了利用经典纠错码来构造量子纠错码的第一种系统有效的数学方法，这极大推动了量子纠错码构造的研究。
　　本文在前人对编码理论研究工作的基础上，进一步深入研究有限环上线性码特别是常循环码理论研究以及利用有限域上的常循环纠错码来构造参数好的量子纠错码。具体研究内容如下:
　　第一，研究了有限链环R上任意长度的(1+wγ)-常循环码的距离分布与深度谱等重要性质，其中w是R中的单位，γ是R的极大理想的一个生成元。首先，利用环R上(1+wγ)-常循环码的生成多项式，给出这类常循环码的各阶挠码的生成多项式，确定了所有这类常循环码的最小汉明距离。研究了有限链环上（1+wγ）-常循环码的最小齐次距离。给出了最小齐次距离的上界和下界，并得到在某些特殊情况下，该类常循环码的精确最小齐次距离。其次，根据各阶挠码的代数结构，确定了这类常循环码中任一码字的深度值的一个下界。利用这个下界，完全给出了有限链环R上任意长度的每个(1+wγ)-常循环码的深度谱。最后，利用最高阶挠码的生成多项式，构造了Galois环GR(pt，a)上的(1+wp)-常循环MDR码，其中w是GR(pt，a)中的任一单位。
　　第二，研究了有限环上自对偶码。一方面，利用中国剩余定理，给出了有限链环上的自对偶循环码的生成多项式。利用生成多项式，得到了有限链环上（非平凡）单根自对偶循环码存在的充分必要条件。利用挠码和有限域上经典循环MDS码，构造了Galois环GR(pt，m)上长度为n的循环自对偶MDR码，其中n≥2是pm-1的正因数。另一方面，研究了16元素环Z4+vZ4=Z4[v]/上的线性码与自对偶码。得到了环Z4+vZ4上的自对偶码的一些重要性质，给出了(Z4+vZ4)n到Z2n4的一个Z4-线性保距Gray映射，证明了Z4+vZ4上的长度为n的自对偶码的Gray像是Z4上长度为2n的自对偶码，由此构造了Z4上的一些极优类型Ⅰ与类型Ⅱ自对偶码。
　　第三，利用有限域Fq2上长度为n=(q2m-1)/(q+1)的ωq-1-常循环码构造了Fq2上长为n的厄米特对偶包含码。基于此，利用量子码的厄米特构造方法，得到了几类参数好的q元量子纠错码，其中ω是Fq2的一个本原元。与已知的量子BCH码相比，这类量子常循环码具有更好的参数。