用机械求积和正则化方法解弱奇性的第一类Volterra积分方程

摘要

在积分方程的数值处理中，有很大一部分方程是第一类的Volterra积分方程，而且在实际的物理背景下，很多是带有弱奇性核的。众所周知，由于第一类弱奇异Volterra积分方程存在不适定性，核奇异性，在解法上有一定的困难。本文在现有文献的基础上提出关于此类问题的数值方法，特别是针对带有对数奇性核的第一类Volterra积分方程的研究。由于这类方程不能用常规方法化为第二类Volterra积分方程，我们应用正则化方法解决第一类问题的不适定性，结合带有奇异点的机械求积公式，给出弱奇性的第一类Volterra积分方程的离散计算格式。 本文还讨论了第一类Abel积分方程的数值反演问题，主要是利用正则化的方法进行数值微分，进而利用特殊的求积公式或者插值逼近理论获得问题的近似解，得到了很好的效果。 对文中提到的方法，数值结果表明，计算精度与稳定性都很令人满意，从而具有重要的理论的和实际意义。

目录

文摘

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声明

1导论

1.1积分方程的数值处理概述

1.2本文的主要工作

2 Volterra积分方程数值方法简介

2.1 Volterra积分方程的发展历史

2.2 Volterra积分方程的分类

2.3 Volterra积分方程的常用数值方法

2.3.1机械求积法

2.3.2投影法

2.3.3 Runge-Kutta法

2.3.4线性多步法

2.3.5分数微积分法

2.3.6第一类Abel积分方程的机械求积解法

2.3.7第二类弱奇异Volterra积分方程的机械求积解法

3不适定问题和正则化方法

3.1不适定问题简介

3.2正则化方法

3.2.1选择法和拟解法

3.2.2稳定泛函与正则化

3.2.3正则参数的选择

4第一类Volterra积分方程的机械求积法和正则化方法

4.1带有奇性的求积公式

4.1.1被积函数在端点有代数奇点的积分

4.1.2带参数的弱奇异函数的积分与渐进展开式

4.2数值方法

4.2.1方程的机械求积近似解法

4.2.2第一类弱奇异积分方程的正则化方法

4.3数值解的收敛性和误差分析

4.4数值算例

5第一类Abel积分方程的数值反演算法

5.1数值求导的正则化算法

5.2反演表达式中端点奇异积分的近似计算

5.2.1修正的机械求积公式处理方法

5.2.2插值逼近处理方法

5.3数值算例

参考文献

致谢