无限秩仿射李代数的结构理论

摘要

一个无限秩广义Cartan矩阵被称为无限秩仿射矩阵，如果它的每个有限阶主子式都是正的。无限秩仿射矩阵共有A∞，A+∞，B∞，C∞和D∞五种类型。无限秩仿射李代数是指复数域C上同无限秩仿射矩阵X相关联的的Kac-Moody 代数g(X)，它由生成元{ei，fi，hi|i∈I｝生成。对任意非负整数n，记gn是由｛ei，fi，|i|≤n｝生成的g(X)的子代数。gn是一个有限维经典李代数，其根系为△n。对任意m>n，gm(∩)gn，因此g(X)=limgn，即g(X)可以看作是子代数gn的正向极限。本文主要研究无限秩仿射李代数g(X)的结构。设{ni|i=1，2，…｝是任一递增的非负整数序列。本文首先介绍了无限秩仿射李代数的生成元和生成关系式等基本性质，并在无限维空间上用矩阵逐一实现了五种类型的无限秩仿射李代数，并引进了它的Killing型。无限秩仿射李代数的根系就是无限秩典型根系△。在本文里我们给出了无限的可数维Euclidean空间里，我们直接构造了无限秩典型根系。最后我们完全确定了△的保持△ni的自同构群Г({ni｝)。它是有限根系的自同构群的直接推广。无限秩仿射李代数g(X)的Cartan子代数是存在的，本文给出了无限秩仿射李代数的型为{ni}的自同构，所有型为{ni｝的自同构构成群G(｛ni｝)。并引入广义内自同构群E({ni｝)，接着定义了g(X)的型为{ni｝的Cartan子代数，证明了这种型为｛ni｝的Cartan子代数在广义内自同构群E({ni ｝)下的共轭性。对于有限维单李代数，它的自同构的确定取决于根系的自同构的确定和Cartan子代数的共轭性。本文在刻画了无限秩典型根系的自同构和论证了Cartan子代数的共轭性后逐一确定了无限秩仿射李代数的某种类型的自同构。我们的主要结论是：无限秩仿射李代数的自同构群G({ni｝)是由它的广义内自同构、对角自同构和可能的广义图自同构生成。关键词 李代数，根系，Cartan子代数，自同构

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

第二章预备知识

第三章 无限秩仿射李代数

§3.1生成元和生成关系

§3.2作为典型李代数的正向极限

§3.3无限秩仿射李代数的不变双线性型

§3.4无限秩仿射李代数的根系

§3.5无限秩仿射李代数的矩阵实现

§3.5.1型A∞的无限秩仿射李代数的矩阵实现

§3.5.2型A+∞的无限秩仿射李代数的矩阵实现

§3.5.3型B∞的无限秩仿射李代数的矩阵实现

§3.5.4型C∞的无限秩仿射李代数的矩阵实现

§3.5.5型D∞的无限秩仿射李代数的矩阵实现

第四章无限根系

§4.1无限根系

§4.2无限秩典型根系的构造

§4.3无限秩典型根系的自同构

§4.3.1无限秩典型根系的广义Weyl群

§4.3.2 型B∞和型C∞的根系的自同构

§4.3.3 型D∞的根系的自同构

§4.3.4型A∞的根系的自同构

§4.3.5 型A+∞的根系的自同构

第五章无限秩仿射李代数的Cartan子代数的共轭性

§5.1 Cgm(ｈn)的结构

§5.2型{ni}的Cartan子代数的共轭性

第六章无限秩仿射李代数的自同构

§6.1无限秩仿射李代数的广义自同构

§6.2 自同构群G({ni)}

第七章 思考与展望

致谢

参考文献

个人简历 在读期间发表的学术论文与研究成果