Klein-Gordon-Schr(o)dinger方程的局部间断Galerkin方法及其算法设计

摘要

将局部间断Galerkin (LDG)方法应用于Klein-Gordon-Schr(o)dinger ( KGS ) 方程, 并对该方程采用线性边界数值通量分别构造了半离散格式和全离散格式, 研究了这些格式的能量守恒和质量守恒性同时设计出相应的可执行形式. 本文安排如下:　　第一章, 分别介绍了KGS方程和LDG方法的研究背景, 随后介绍了本文所用到的一些相关知识.　　第二章, 提出了两个关于边界数值通量的引理, 并证明了在特殊边界数值通量条件下仅空间方向离散的半离散格式满足质量守恒及能量守恒. 在此基础上, 对时间方向进行离散得到两个全离散格式, 并证明两个格式仍然保持双物理量守恒.　　第三章, 为KGS方程的LDG格式设计了一套以矩阵为核心运算的通用性算法, 该算法易理解且执行效率高. 首先从全离散格式特点出发, 将Legendre多项式为作为公共基函数; 其次, 对三种积分类型以及流量模块分别进行分析; 最后将所有模块组合, 得到了在一致网格下两个便于计算机执行的格式.　　第四章, 将算法应用于已构造的两个全离散守恒格式, 分别对两个精确解进行数值实验, 考察了空间收敛阶和守恒性. 实验结果符合预期, 表明了本文所构造的两个全离散LDG格式保持能量守恒和质量守恒, 也表明了构造的算法是可行性的.　　最后对本文的内容进行了简单的总结, 同时提出一些未来的研究设想.

目录

声明

第一章 引言

1.1 研究背景

1.2 预备知识

1.2.1 最佳平方逼近

1.2.2 Gauss-Legendre求积公式

第二章 KGS方程与局部间断Galerkin方法

2.1 KGS方程

2.2 局部间断Galerkin方法

第三章 守恒性分析

3.1 流通量引理

3.2 半离散守恒格式

3.3 全离散守恒格式

第四章 算法设计

4.1 系数矩阵

4.2 积分模块

4.2.1 积分类型一

4.2.2 积分类型二

4.2.3 积分类型三

4.3 数值流通量

4.4 流程与初值计算

4.4.1 流程

4.4.2 初值计算

第五章 数值实验

5.1 空间收敛阶

5.1.1 第一类精确解

5.3.2 第二类精确解

5.2 守恒性模拟

第六章 工作总结及未来展望

参考文献

致谢