连续与离散SG方程及相关孤子族的精确解析解

摘要

本文研究几个可积的偏微分方程,包括连续和离散的sine-Gordon方程(SG),变形Korteweg-de Vries方程(mKdV)等。为计算这些可积模型的精确解析解,应用了代数曲线方法,并与特征值问题非线性化相结合,求解分为“分解,拉直,反演”三个步骤。首先,从与SG方程和mKdV方程相关的谱问题出发,借助基本恒等式和Lenard分析等强有力工具,得到三族可积模型(孤子族)及相应的零曲率表示。它们分别是:mKdV族,algebraic SG族和2+1 SG族。在Bargmann约束下,通过将两个谱问题非线性化,得到两个有限维Liouville可积系统。有趣的是这两个系统具有相同的Lax-Moser矩阵和相同的N-守恒积分系,这些守恒积分两两对合,在相空间的某开集上函数独立。孤子方程(可积的偏微分方程)被分解为几个Liouville可积的常微分方程,其相容解生成可积偏微分方程的特解。　　由Lax-Moser矩阵决定一条代数曲线,在其Jacobi簇上,这些常微分方程的Hamiliton相流被拉直,于是可以直接积出。最后通过Jacobi反演,借助多元theta函数,得到这些偏微分方程的精确解析解。Darboux变换(DT)是构造孤子方程精确解的十分有效的方法。　　本文除用此方法解决两个与Toda链相关的离散孤子方程的求解问题之外,还成功地从mKdV-SG族的Darboux变换中找到一个离散谱问题。从连续和离散谱问题组成的Lax对的相容条件出发,导出离散的SG方程。Lax对的离散部分由Darboux变换得到。文中找到相应的一个包含双叶黎曼面分支点的Bargmann约束。利用这个非常特殊的Bargmann约束,将由Darboux变换产生的离散谱问题非线性化,成功得到一个可积辛映射。利用类似连续系统的程序,先在Jacobi簇上将离散流拉直,然后算出离散SG方程的精确解析解。

目录

摘要

Abstract

第一章 引言

1.1 孤立子与可积系统的发展

1.2 代数曲线方法

1.3 本文的研究内容

第二章 mKdV-SG系统的导出

2.1 mKdV孤子方程族及其零曲率表示

2.1.1 基本恒等式

2.1.2 Lenard序列

2.1.3 mKdV孤子方程族及零曲率表示

2.2 algebraic SG方程族及其零曲率表示

2.2.1 基本恒等式

2.2.2 Lenard序列

2.2.3 aSG孤子方程族及零曲率表示

2.3 2+1 SG孤子方程族及其零曲率表示

第三章 非线性化与Lax-Moser矩阵

3.1 aSG族谱问题的非线性化

3.2 mKdV族谱问题的非线性化

3.3 Lax-Moser矩阵与守恒积分

3.3.1 Lax-Moser矩阵

3.3.2 守恒积分

第四章 mKdV-SG系统的分解

4.1 aSG族的分解

4.2 mKdV族的分解

第五章 代数曲线与流的拉直

5.1 椭圆变量与Abel-Jacobi坐标

5.1.1 椭圆变量

5.1.2 Abel-Jacobi坐标

5.2 (H_(-j)),(H_j)流在Jacobi簇上的演化

5.3 守恒积分函数独立性证明

第六章 与Toda链相关孤子方程的Darboux变换

6.1 带双离散变量Toda方程的Darboux变换和精确解

6.2 导数Toda方程的Darboux变换和精确解

第七章 离散sine-Gordon方程

7.1 DT和离散sine-Gordon方程的产生

7.2 可积辛映射及离散SG方程的分解

7.2.1 可积辛映射

7.2.2 离散SG方程的分解

7.3 离散流的拉直

7.3.1 预备估计

7.3.2 特征向量

7.3.3 离散流的拉直

第八章 反演

8.1 椭圆变量与位势之间的关系

8.2 椭圆变量的迹公式

8.2.1 椭圆变量的迹公式

8.2.2 椭圆变量的负幂迹公式

8.3 精确解析解

参考文献

致谢