基于Legendre函数逼近法研究三类分数阶微积分问题

摘要

分数阶微积分经过近几十年的蓬勃发展，使得其在各个领域有广泛的应用。分数阶微积分能够准确简洁地描述复杂的物理及工程问题。因此，对于这一领域相关问题的研究极具有价值。分数阶微积分方程解析形式的解通常不易获得，提出具有高精度的数值方法是极其必要的。此外，由于通过识别建立适当的分数阶模型，可以得到具有较好瞬态响应和鲁棒性的控制器。因此，对于分数阶微积分方程数值解和参数识别的研究是论文研究的重要课题。　　数值计算方法的有力工具之一是函数逼近，通过逼近未知函数求得的数值解，具有计算量较少和数值结果精度高的特点。论文结合正交的Legendre函数和逼近理论对文中的课题进行研究。　　首先，介绍了分数阶微积分的发展、研究现状以及数值计算方法的研究现状，阐明了基于Legendre正交函数逼近函数的研究背景及意义，之后给出了Legendre多项式的定义和性质以及分数阶微积分和变分数阶微积分的相关基础知识。　　其次，论文推导了移位Legendre多项式和广义拟Legendre多项式的分数阶微分算子矩阵。基于得到的算子矩阵，提出了一类分数阶泛函微分方程的边值问题和分布阶扩散方程的数值解法。针对泛函微分方程中的泛函项和边值条件通过函数逼近做了近似处理，利用高斯-勒让德求积公式处理了分布阶扩散方程中的积分项。最后，应用所给算子矩阵将问题改写为代数方程。通过数值算例说明了这两章的数值算法是有效可行的。　　最后，论文基于Legendre小波函数的微分算子矩阵，识别了一类含噪声分数阶线性系统的系数以及阶数，通过极小化识别系统输出和真实系统输出的绝对误差来确定参数。数值算例验证了算法的有效性以及鲁棒性。

目录

声明

第1章 绪 论

1.1 分数阶微积分的发展历程及其研究现状

1.2 数值计算方法的研究现状

1.3 基于Legendre正交函数逼近函数的研究背景及意义

1.4 课题的研究意义及主要研究内容

第2章 基础知识

2.1 Legendre多项式的定义和性质

2.2 分数阶微积分的定义及性质

2.3 两种变分数阶微积分的定义及性质

2.4 本章小结

第3章 移位的Legendre多项式方法求解变分数阶泛函微分方程边值问题

3.1 移位的Legendre多项式定义及函数逼近

3.2 算法分析

3.3 数值算例

3.4 本章小结

第4章 求分布阶扩散方程数值解的广义拟Legendre多项式方法

4.1 广义的拟Legendre多项式

4.2 函数近似

4.3 数值格式构造

4.4 数值算例

4.5 本章小结

第5章 Legendre小波法识别一类含噪分数阶系统的参数

5.1 分数阶系统及Legendre小波的定义

5.2 函数逼近

5.3 收敛性定理

5.4 基于Legendre小波函数的参数识别

5.5 数值算例

5.6 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果

致谢