密度矩阵重整化群方法的研究

摘要

相变和临界现象是一个跨学科领域,一直受到广泛关注。分形晶格的相变问题又是物理学中的一个重要课题,实践证明,对于分形晶格,最有效的方法是重整化群方法。这也是应用最广泛的一种理论研究方法,它回避直接求配分函数,而代之以研究使配分函数保持不变的变换,这些变换构成所谓重整化群。然后找出重整化群变换的不动点,在所有不动点中那些不稳定不动点(或鞍点)是发生相变的临界点,这样就可以求出所研究系统的临界指数和分形维数,就知道了其临界行为。
　　准晶是一种多重分数维图形。为了便于研究准晶系统的性质,人们提出了各种准晶模型,主要的是一维 Fibonacci模型。本文在前人研究二元 Fibonacci模型的基础上,对替代关系为A→ABC,B→A,C→B序列上的三元广义Fibonacci链的伊辛模型进行了解析分析,用类似满足三元序列上替换规则的长、中、短三种原子间距所构成的模型说明Fibonacci链的变换,利用重整化消元变换,解得临界温度Tc和关联长度的临界指数v的值,与相应周期系统相同,从而一维伊辛模型无相变的结论对三元广义Fibonacci链同样成立。
　　在最后几章,介绍了几个重要的物理概念和著名的Lieb-Mattis定理。其中物理概念主要包括自旋关联函数(长度)、总自旋、序参量等,重点介绍了目前常用来研究量子自旋系统的基于Lanczos技术的严格对角化方法和密度矩阵重整化群(DMRG)方法。对密度矩阵重整化群方法中的“无限系统算法”和“有限系统算法”分别作了较详细的介绍。最后,使用密度矩阵重整化群(DMRG)方法对自旋阶梯进行模拟研究,在保留16个态的情况下,得到相当好的基态能量值,证明了密度矩阵方法是可行的。

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第一章 概述

第二章 重整化群理论

2.1 重整化群理论的物理背景

2.2 哈密顿系统的重整化群方法

2.3 实空间重整化群方法

2.4 临界点与不动点的关系

第三章 一维三元广义准周期模型的重整化群分析

3.1 引言

3.2 Ising模型和重整化消元变换

3.3 一维三元广义准周期模型

第四章 基本概念和定理

4.1 自旋关联函数(Spin Correlation Function)

4.2 总自旋(The Total Spin)

4.3自旋单态的态密度(The Singlet Density)

4.4序参量 ? ? ? ?,Q 和 ? ? 0, ? Q

4.5 String序参量(String Order Parameter)

4.6 Lieb-Mattis定理

4.7 密度矩阵(The Density Matrix)

第五章 数值方法

5.1 Householder方法

5.2 Lanczos方法

5.3 密度矩阵重整化群(DMRG)方法

5.4 DMRG对反铁磁海森堡自旋阶梯的模拟

第六章 总结

参考文献

致谢

硕士期间所发论文