几类逆边值问题的正则化方法及最优性分析

摘要

本文从最优性分析的角度考虑了三类经典的逆边值问题，即逆热传导问题、反向热传导问题、Laplace方程Cauchy问题。它们都是严重不适定问题，且未知解越接近边界点，不适定性越强。因此恢复解的稳定性，尤其是解在边界上的稳定性不仅有明显的物理背景，且有重要的理论研究价值。到目前为止，很多方法仅能得到数值结果而未给出误差分析，还有些方法可以给出阶数最优的稳定性估计，而最优性分析方面的工作很少，在边界上的结果就更少了。 本文第二章对无界带形域上的Laplace方程Cauchy问题在区间(0，1]上进行最优误差分析，得到了该问题的真实解与正则近似解在一般源条件下的最优误差界。同时还给出两种正则化方法(即广义Tikhonov正则化方法和一类广义奇异值分解法)以及正则化参数α的最优选取规则，当正则化参数α依这种规则选取时可实现最优误差界。此外第二章还就这个问题给出了滤波方法和Fourier方法。当正则化参数适当选取时，分别得到了问题的真实解与正则近似解之间的阶数最优的误差估计和对数型稳定估计。 第三章分别对Laplace方程Cauchy问题和逆热传导问题在边界上的稳定性进行最优性分析。均得到了问题的真实解与正则近似解在对数源条件下的最优误差界。 本文第四章应用离散正则化方法对有界域上的一个Laplace方程Cauchy问题和一个反向热传导问题进行研究，给出了精确解与用谱截断方法、最小二乘法以及对偶最小二乘法所得到的正则近似解之间的对数型稳定估计。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

§1.1反问题和不适定问题

§1.2正则化方法

§1.3主要结果

第二章Laplace方程Cauchy问题的最优性分析

§2.1带形域上的Laplace方程Cauchy问题及其不适定性

§2.2一般源条件下的最优误差界

§2.2.1一个基本结果

§2.2.2最优误差界

§2.2.3最优正则化方法

§2.3滤波方法

§2.3.1带形域上的Laplace方程Cauchy问题

§2.3.2有界域上的Laplace方程Cauchy问题

§2.4 Fourier正则化方法

§2.4.1误差估计

§2.4.2数值例子

第三章不适定问题在对数源条件下的最优性分析

§3.1对数源条件

§3.2 Laplace方程Cauchy问题

§3.2.1最优误差界

§3.2.2最优正则化方法

§3.2.3高维Laplace方程Cauchy问题

§3.3逆热传导问题

§3.3.1问题的不适定性及最优误差界

§3.3.2最优正则化方法

第四章不适定问题的离散正则化方法

§4.1投影方法和Galerkin方法

§4.2 Sobolev空间Hr(0，π)

§4.3反向热传导问题

§4.3.1有界域上的反向热传导问题

§4.3.2谱截断方法

§4.3.3最小二乘法

§4.3.4对偶最小二乘法

§4.3.5数值例子

§4.4 Laplace方程Cauchy问题

§4.4.1有界域上的Laplace方程Cauchy问题

§4.4.2谱截断方法

§4.4.3最小二乘法

§4.4.4对偶最小二乘法

§4.4.5数值例子

第五章总结

参考文献

在学期间获得的奖励和科研成果

致谢