非线性阻尼Navier-Stokes方程的渐近性态

摘要

自从Reynolds于1883年做了著名的湍流实验以及Leray在1930年证明了不可压缩流体方程弱解的整体存在性以来，流体动力学的数学理论引起了人们越来越多的关注[1-50]，特别是在偏微分方程和非线性科学领域．Navier-Stokes方程被视为研究小分子流体的低速（相对于光速）运动如大气海洋科学，航空科学，气象学等重要领域流体运动的基本数学模型．本文主要讨论非线性阻尼三维不可压缩Navier-Stoke方程柯西问题．其非线性阻尼项主要来源于多孔介质流所产生的摩擦效应.aiu-△u+(u-▽)u+▽π+|u|β-1u=f,▽·u=0,u(x,0)=u0.
　　 本文的工作主要在于对上述问题的L2衰减，渐近稳定性做相关的研究．
　　 第一部分，首先我们介绍流体动力学方程的基本物理背景．我们先回顾关于Navier-Stokes方程适定性及渐近行为的前沿工作，其次，我们介绍本文所需要的一些预备知识.
　　 第二部分，我们讨论三维非线性阻尼Navier-Stokes方程的衰减性．通过经典的傅里叶分解的方法给出了其弱解当β≥10/3时的L2衰减结果．
　　 Theorem0.1假设u0∈L2(R3)，并且▽·u0=0．u（x，t)是零压力柯西问题（1）当β≥10/3时的弱解，则
　　 (ⅰ)limt→∞‖u(t)‖=0
　　 (ⅱ)进一步，如果具有相同初值u0的热方程的解e△tu0满足
　　 对某些μ＞0
　　 则弱解u(x，t)有下面的衰减速度
　　 t＞0.（2）
　　 由于系统(1)可以看成经典Navier-Stokes方程的一个修正，我们研究上述方程与经典Navier-Stokes方程的误差估计.
　　 Theorem0.2与定理0.1相同的条件下，我们得到
　　 当t→∞.(3)
　　 其中ū(t)是具有相同初始条件u0的三维Navier-Stokes方程的弱解．
　　 进一步的，当7/2≤β＜5，时，我们运用一些新的分析技巧证明了高阶导数的最优衰减速度．
　　 Theorem0.3假设u(x，t)是零压力柯西问题(1)当7/2≤β＜5时的强解，并且u0满足，u0∈Hm(R3)(m≥0).进一步的，如果具有相同初值u0的热方程的解e△tu0满足
　　 则非线性问题(1)的解u(x，t)有下面的衰减速度
　　 对任意t＞0.(4)
　　 第三部分，最后我们通过傅里叶分解的方法考虑初值在大扰动情形下系统的渐近稳定性(β≥2/7)．定理0.1和定理0.2的衰减结果表明平凡解u=0是渐近稳定的，考虑在外力不为零时系统(1)的非平凡解的渐近稳定性是很有意义的问题.更明确的说，我们证明了下面的稳定性结果
　　 Theorem0.4假设u0∈H1(R3)∩Lβ+1(R3)，f∈L2(0，T；L2(R3）并且u(x，t)是系统(1)的强解，当β≥7/2时.则对任意的初始扰动a(x)∈L2(R3)，都存在下面的扰动问题的一个弱解v(x，t)aiu-△u+(u-▽)u+▽π+|u|β-1u=f,▽·u=0,u(x,0)=u0.
　　 使得v(x，t)以‖v(t)-u(t)‖→0，t→∞.(6)的方式渐近收敛到u(x，t)．