若干由G--布朗运动驱动的随机泛函微分方程解的存在唯一性及估计

摘要

随机现象广泛存在于自然科学、工程技术、财经管理等学科领域以及我们的日常生活中，反映随机现象影响的数学模型一般可用随机微分系统来表示。随着随机微分动力系统理论和应用的发展，随机泛函微分方程解的存在唯一性、解的矩估计以及各种稳定性问题的研究已经引起了国内外学者的极大兴趣，研究成果层出不穷。以往随机微分方程(SDE)的理论及应用大多是建立在传统布朗运动基础上的，而G-布朗运动不是传统布朗运动的简单拓展，出于G-布朗运动应用的广泛性，由G-布朗运动驱动的随机微分方程理论及应用研究引起广大学者的高度关注。本文运用随机动力系统理论研究了若干由G-布朗运动驱动的随机泛函微分方程解的存在唯一性及矩估计。本文主要内容如下。 第一章简要介绍研究背景及意义，给出相关预备知识及引理，包括随机微分方程基础理论，G-布朗运动的概念以及若干重要的随机不等式。 第二章首先介绍由G-布朗运动驱动的随机中立型无穷时滞泛函微分方程基础知识，通过构造Picard逼近序列，利用H(o)lder不等式、Gronwall不等式和G-布朗运动的性质，获得了Picard逼近序列的收敛性，从而得到解的存在唯一性，最后运用H(o)1der不等式、Gronwall不等式和Borel-Cantelli引理获得了若干解的矩估计。 第三章主要讨论多个G-布朗运动驱动的随机中立型泛函微分方程。详细介绍了多个G-布朗运动的基础知识，针对这种类型随机中立型泛函微分方程，在每一个G-布朗运动都满足线性增长和Lipchitz条件的前提下，构造具体的Picard逼近序列，利用H(o)lder不等式、Gronwall不等式和Borel-Cantelli引理获得了解的存在唯一性，并对解进行了矩估计。 第四章研究一类由G-布朗运动驱动、时滞为比率型的随机中立型泛函微分方程。鉴于比率时滞是一种无穷时滞，我们在证明时使用了不等式放缩技巧，仍然构造Picard逼近序列，运用H(o)lder不等式、Gronwall不等式和Burkholder-Davis-Gundy不等式，最终得到解的存在唯一性，并给出了解的估计。 第五章研究G-布朗运动驱动的、分段常数时滞的随机泛函微分方程。我们利用随机微分方程一般理论分别研究滞后型与中立型两种情形，基于分段常数时滞的特殊性，我们通过不等式放缩技巧以及几个重要不等式，获得了解的存在唯一性和解的估计。作为应用，针对线性情形，我们运用G-布朗运动的性质以及分析技巧，分别给出了解的具体表达式和解的估计。