利用高阶修正型方程逼近热传导方程侧边值问题

摘要

数学物理逆问题是现代数学中的一个热点研究领域，研究它的难点在于它的不适定性.在本文中，我们考虑一类经典的逆问题，即热传导问题的侧边值问题(SHE)，具体的我们考虑:{uxx=ut，x≥0，t≥0u(x，0)=0，x≥0u(1，t)=g（t)。
　　对于上述问题，近些年来许多数学家提出了很多非常重要的方法，例如，正则化，小波分析及Fourier方法，双曲近似，时间离散等等.在本文中，我们从Weber和L.Eldén提出的双曲逼近方法出发，提出了一种新型的修正方程逼近的方法，即{(e2)v/(e)x2=(e)v/(e)t+γ(e)4k+2/(e)t4k+2（(e)2v/(e)x2），x≥0，t≥0，γ≥0(e)sv(x,0)/(e)ts=0，s=0，1，2…，4k+1u(1，t)=gm(t)。
　　通过选取适当的参数γ和k，使修正方程的解逼近原问题的解.本文将针对不同情形下的源条件给出热传导问题侧边值问题的最优误差估计。
　　对于上述给出的修正方程方法，我们通过Fourier变换方法从理论上给出误差估计.我们可以看到，对于上述方法，我们能够在理论上达到最优误差阶.而且，对于由||·||p给出的先验信息，该方法能够达到对数型稳定性[20]。
　　定理0.1u表示(1.1)的解，u表示(1.5)中有扰动数据的解.我们假设f(t)=u(0，t)有界，即||fp≤M，p≥0.其中，||f||p=(∫∞-∞(1+ω2)p(Fω)2dω)1/2.F(ω)是f(t)的Fourier变换.如果我们选择24k+2(4k+1)4k+1/R8k+4(4K+2)4k+2≤γ≤24k+3c1/R8k+5和k≥max{R/2c1-2/4，R+4P-10/16}其中R[19]满足e-R(1+R4/4)-p=ε2/M2，c1为常数.可得到||u(x，·)-v(x，·)||≤min(c1+1，3)M1-xεx（√2lnM/ε）-2p(1-x)(1+o(1))。
　　最后我们将通过数值实验验证该方法的可行性与有效性.从数值实验中我们可以看到，上述方法对精确解的逼近性很好。