基于正部和负部下的随机变量序列收敛的研究

摘要

在统计分析中概率极限理论经常被用于求统计量的渐近分布,而一般情况下我们所研究对象的总体的分布是未知的,不能由总体的分布求出所构建的统计量的精确分布.只有先求出样本容量n→∞时所构建的统计量的渐近分布,应用渐近分布进行统计分析.而在求统计量渐近分布时常常要用到有关随机变量序列依分布收敛的Slutsky定理.
　　现行大多数有关概率统计的教科书中,对Slutsky定理的证明都给的比较简略.缺乏一些细节性的深入分析探讨.比如:
　　问题1:随机变量序列依分布收敛是指分布函数F(x)的任意连续点x有limFn(x)=F(x),并非点点收敛到一个极限分布函数.所以在 Slutsky定理的证明中对任意ε>0,当ε→0+时有关ε的函数g(ε)逼近分布函数F(x)的某一连续点x时是否始终存在δ>0使得g(δ)是分布函数F(x)在x与g(ε)之间的连续点.
　　问题2:当随机变量的取值既有正又有负时,对 Slutsky定理证明过程中不等式符号问题缺乏详尽的讨论分析.
　　本文从概率测度论中可测函数的示性函数出发,先将一个随机变量衍生成正部和负部两个随机变量,以此推广到一个随机变量序列衍生出两个新的随机变量序列.通过研究这两个衍生序列与原序列收敛性的关系,得出随机变量序列几乎处处收敛以及依概率测度收敛于某一常数c时的等价条件.简化 Slutsky定理对于不等式符号的分析过程.又研究了在R上随机变量分布函数连续点的分布,得出分布函数连续点集在R上稠密.最终重新对Slutsky定理进行了证明.

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1 绪论

1.1 引言

1.2 研究背景及现状

1.3 本文主要工作

2 正部和负部下的随机变量序列几乎处处收敛的充要条件

2.1 预备知识

2.2 随机变量的正部与负部

2.3 随机变量在几乎处处意义下的大小关系

2.4随机变量序列几乎处处收敛的充要条件

3 正部和负部下的随机变量序列依概率收敛于某一常数c时的探究

3.1 随机变量依概率测度收敛于某一常数的充要条件

4 随机变量的分布函数连续点的不可数稠密性

4.1 预备知识

4.2 随机变量分布函数连续点的稠密性

4.3 定理4.2.1的证明

5 Slutsky定理新的证明

5.1 Slutsky定理的内容

5.2 Slutsky定理的证明

结语

参考文献

在读期间发表的论文

后记