电磁理论中Sommerfeld积分的新解法

摘要

作为具有广泛科学和实际应用的科学问题，Sommerfeld积分自提出至今已有100多年的历史。由于其数学物理问题的复杂性，对于同一个物理问题，许多文献具有不同复杂形式的数学表述，缺乏一个理论完备的、数值统一的、正确无误的参考。论文希望通过引入物理等效，将多层平面问题转化为多层球的问题，当球的半径相对于电磁波的波长足够大时，就可以得到足够精确的平面问题的等效解。主要研究内容分为四部分。
　　本文完成了关于Sommerfeld积分的国内外研究现状的综述研究，详细的分析了现有的研究方法，主要可以分为完全数值法，渐进解和半解析法。不同于传统的计算Sommerfeld积分的数值或者类似解析的方法，本文通过大量调研，创新的发现Sommerfeld积分存在于平面分层结构和柱面分层结构，而球面分层结构中不存在繁琐的Sommerfeld积分。针对这一发现，通过建立平面到球面的转换关系，以及电磁场在球坐标直角坐标之间的转换，来得到平面分层结构中电磁场的广义表达关系，以绕过Sommerfeld积分的计算。
　　接着重点求解 N层球面分层结构外的垂直赫兹电偶极子产生的辐射场和边界条件对应的散射并矢格林函数系数，在求解散射并矢格林函数的系数时，使用了线性方程组的方法，避免了重复的边界条件推导和散射系数的迭代求解。
　　并将相应的推导公式应用到两层和三层分层球面结构中，包含了理想导体和各向同性介质的两种情况，主要解决了自由空间并矢格林函数的Gibbs现象（影响电场在源点所在球面的不连续性），接着通过分析公式，巧妙利用数学技巧，消除了Gibbs现象，并且得到了连续电偶极子辐射场的并矢格林函数的表达式。由于电场表达式为无穷级数求和，必须解决截断项问题。然后参照 Mie级数收敛公式，画图研究得出了新的电场无穷级数表达式的截断项收敛公式研究，并在此基础上，完成了平面结构和球面结构的对比，通过绘图比较发现，随着球面分层媒质半径的逐渐增大，此时两层平面分层媒质和球面分层媒质结构的电偶极子产生的辐射场的计算结果是一致的。从而证明了球面分层结构求解Sommerfeld积分的新方法是有效的。
　　在三层球面分层结构中，论文通过实际算例来比对球面分层结构和平面分层结构：1）R.W. P. King和S. S. Sandler，2）张红旗和潘威炎的结果，验证在介质情况下，球面分层结构计算电偶极子辐射场的方法依然成立，并且能够和平面结构模型对应上，需要指出的是这种方法不存在限制条件，而平面分层结构的计算方法在不满足限制条件的情况下，计算结果有很大偏差。

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第一章 绪 论

1.1 Sommerfeld积分背景研究

1.2 Sommerfeld积分难点

1.3 课题的研究意义和价值

1.4 本文的主要工作

1.5 章节结构安排

第二章 关于Sommerfeld积分的国内外研究现状

2.1 完全数值法

2.2 渐进解

2.3 半解析法——DCIM

2.4 本章小结

第三章 N层球面结构的模型分析和并矢格林函数的研究

3.1 N层球面分层模型

3.2 无界空间并矢格林函数

3.3 散射并矢格林函数

3.4 本章小结

第四章 两层球面分层结构（理想导体）

4.1 Gibbs现象的消除

4.2 收敛性问题

4.3 平面结构和球面结构的对比

4.4 本章小结

第五章 三层球面分层结构

5.1 三层球面分层媒质电场公式

5.2 三层平面分层结构计算方法

5.3 三种计算电场方法对比

5.4 本章小结

第六章 结论

6.1 全文总结

6.2 后续工作展望

致谢

参考文献

攻读硕士学位期间取得的成果