矩阵的非正交联合对角化算法及其在盲信号分离中的应用

摘要

盲源信号分离（也叫盲源分离）是信号处理领域中一个传统而且极具挑战的问题。盲源信号分离的目的是寻找源信号的最佳估计，是在源始信号、混合过程未知的情况下，仅由观测信号统计量和源始信号的独立性（不相关性）假设就能估计出源信号的过程。而矩阵的联合对角化算法作为解决盲源信号分离的一类非常有效的代数算法，近年来受到广泛的关注。联合对角化分为两种类型，一种是正交联合对角化，另一种是非正交联合对角化。由于正交联合对角化要对观测信号做白化处理，这会造成一定的误差，从而对分离效果有不可弥补的影响，非正交联合对角化可以不满足正交性约束条件，因此不必做预白化处理。近10年来非正交联合对角化算法受到广泛的关注，成为研究的热点问题。本文也以这个课题为中心，具体做了以下工作：
　　1.将具体探讨由观测信号得到的目标矩阵具有可对角化结构，而矩阵的联合对角化方法就是通过恢复这种矩阵对角化结构来估计混合矩阵或者解混矩阵。从而证实用矩阵的非正交联合对角化算法来解决实际盲源分离问题的有效性。
　　2.形如解决Hermitian矩阵特征值问题的Jacobi算法,本文用一个基本矩阵，建立了一个没有近似的Jacobi算法，简称为EGRALD1算法。利用求偏导，提出了两种新的广义的Jacobi非正交联合对角化算法，简称为EGRALD2a算法和EGRALD2b算法。该算法以非对角线元素的平方和作为近似联合对角化程度的评价准则，去求解基本矩阵的两个未知的复数参数。最后，通过数值实验1说明EGRALD2a算法和EGRALD2b算法相对于EGRALD1算法来说它们的收敛速度较快，因此在后面的实验中将把EGRALD2a算法和EGRALD2b算法用来和其他算法进行对比。通过数值实验2-5说明了EGRALD2b算法具有最快的收敛速度和最好的对角化程度。通过数值实验6验证本文提出的算法能够适用于实际的应用场景。
　　3.本文针对Hermitian矩阵，基于LU分解并采用两种策略提出了三种Jacobi交替迭代非正交联合对角化算法。在这些算法中，每次变换包括一个上三角迭代步和一个下三角迭代步，并且每一步包括一个未知参数，各参数的最优取值通过解析导出。最后对新提出的算法作了收敛性分析，通过数值实验说明算法的有效性，并验证实际情况的结果与模拟结果是一样的。