压缩感知中测量矩阵的优化方法研究

摘要

传统的对模拟信号采样方法会得到大量的采样数，导致后续处理硬件和存储的实现较为困难，压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论的提出为信号处理领域开辟了新的视野，它在对信号进行压缩的同时获得了原始信号的信息采样，利用少量的信息观测值可以代替原始信号中大部分信息，并能利用这些观测值来重构原始信号。相对于传统信号处理方法而言，CS采样时的信息速率不受限于奈奎斯特定理。在压缩感知的整个过程中，测量矩阵和重构算法是其最主要的核心内容。在CS过程中，观测矢量的获得非常关键，然而测量矩阵又决定着观测矢量的信息含量，设计一个性能良好的测量矩阵能使原始信号的压缩过程中得到相对较少的观测值，而同样可以表达原始信号中的全部有用信息，并通过一定算法精确重构原始信号。如果使用相同的重构算法，那么影响重构效果的第一要素就是测量矩阵，测量矩阵性能越好，则重建误差越小，因此对测量矩阵的优化技术研究具有重要的理论和实际意义。
　　近年来，许多设计和优化测量矩阵的方法相继被提出，各种类型的测量矩阵也陆续被应用到不同场合，可大体归纳为三类：第一类为随机性矩阵，如随机高斯矩阵、随机伯努利矩阵等；第二类为部分正交阵，如部分哈达玛阵、部分傅里叶阵等；第三类是确定性结构化矩阵，如Toeplitz阵、循环矩阵、二进制矩阵等。这些矩阵存在着许多不足：如测量矩阵的元素随机性导致其存储硬件的实现十分困难，而一些确定性测量矩阵虽然硬件实现相对简单，但为了保持一定的信号重建精度就需要更多的关于原始信号的信息采样测量值；而部分正交测量矩阵的限制条件较多，导致其适用范围有限。
　　论文的第一部分详细介绍压缩感知理论的基本概念和数学原理，并着重介绍CS理论中几个重要组成部分：稀疏信号的表示、测量矩阵和重构算法；第二部分描述了测量矩阵的分类，列举了各类测量矩阵并分析了它们各自的特点，对常见的测量矩阵进行定量的性能分析，给出了一些现有测量矩阵的优化方法，分析目前测量矩阵优化方法中的长处和不足；在前人的理论与实践中提取这些研究工作的精髓。第三部分详细分析测量矩阵需要满足的性质和优化设计该矩阵需要考虑的因素，提出一种改进的变步长(Adaptive Step Size,ASS)梯度下降(Gradient Descent Method,GDM)的测量矩阵优化方法：ASS-GDM法。该方法在梯度下降中基于模拟退火(Simulated Annealing，SA)系数来调节步长从而达到步长的自适应变化，提高算法的收敛速度。第四部分提出一种优化测量矩阵的改进新方法—RS码方法，由RS码经过多重算法最终得到测量矩阵的相关性渐近Welch界，从而达到性能渐近最优。

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第1章 绪论

1.1 课题研究的背景与意义

1.2 相关理论的研究状况与发展趋势

1.3 论文的内容编排

第2章 压缩感知

2.1 CS基本原理

2.2 测量矩阵和恢复算法

2.3 本章小结

第3章 测量矩阵及其优化方法

3.1 概述

3.2 测量矩阵综述

3.3 现有矩阵优化方法

3.4 实际场合对测量矩阵的要求

3.5 本章小结

第4章 改进的ASS-GDM优化测量矩阵方法

4.1 概述

4.2 ASS-GDM优化方法

4.3 数值仿真与分析

4.4 本章小结

第5章 基于RS码构造测量矩阵

5.1 概述

5.2 测量矩阵的RS码构造方法

5.3 仿真与分析

5.4 本章小结

第6章 总结和展望

致谢

参考文献

附录