分数阶对流扩散方程的新型特征差分及分数阶扩散问题的快速算法

摘要

分数阶微积分在数学和物理领域中有着广泛的应用。因而，分数阶偏微分方程的数值解法已成为人们关心的焦点。本文主要研究了空间分数阶扩散方程的数值解法，共分为四章。
　　 在第一章中，首先给出了二阶对流扩散方程采用线性插值的新型特征差分格式的无穷模误差估计，通过误差分析和数值算例证明了这种格式为二阶格式，收敛阶为O(△t2+h2)。然后将新型特征差分法与空间外推相结合，给出了一类空间分数阶对流扩散方程的新型特征差分格式。其中，新型特征法用以提高时间收敛阶，空间外推用以提高空间收敛阶。最后给出了具体的数值算例。通过数值算例证明我们得到了求解空间分数阶对流扩散方程的二阶方法。
　　 在第二章中，我们给出了如下非稳态空间分数阶扩散方程:{(e)u/(e)t-(e)/(e)x(K(x,t(e)1-βu/(e)|x|1-β)f(x,t),a＜x＜b，0≤t≤Tυ（a，t)=υ（b，t）=0，0≤t≤Tu(x，t=0)=u0(x)，a＜x＜b的有限体积法，为确保有限体积法的优势，我们采用Crank-Nicolson方法得到有限体积格式。根据系数矩阵的性质，给出了系数矩阵的O(N)有效存储。并将系数矩阵进行分裂，使得左端变成比较狭窄的带状矩阵，右端利用求解循环阵和向量的乘积的快速Fourier变换方法，得到一个O(Nlog4N)的快速算法。数值算例表明，与传统的计算格式作比较，我们的方法不仅在精度上有所改善，而且大大提高了计算效率。
　　 在第三章中，我们给出如下稳态空间分数阶扩散方程:{-d+(x)(e)αu(x)/(e)+xα-d-(x)(e)αu(x)/(e)-xα=f(x),a＜x＜bu(a)=u(b)=0的有限差分格式，根据系数矩阵的性质，给出了系数矩阵的O(N)有效存储，并利用矩阵分裂的思想及第二章给出的快速计算方法，提出一种新的迭代法，logN对角线迭代法。并且给出数值试验，将新的迭代法与Jacobi迭代法相比较。数值算例表明，新的迭代法大大的提高了计算效率。
　　 在第四章中，我们给出了全文的总结。

目录

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摘要

第一章 对流扩散方程的新型特征有限差分法

§1．1 引言

§1．2 二阶对流扩散方程新型特征差分法

§1．2．1 新型特征法

§1．2．2 误差估计

§1．2．3 数值算例

§1．3 分数阶对流扩散方程的新型特征差分法

§1．3．1 新型特征法及空间外推

§1．3．2 数值试验

第二章 分数阶非稳态扩散方程的O(Nlog4N)有限体积法

§2．1 引言

§2．2 有限体积离散

§2．3 系数矩阵的有效存储及快速算法

§2．4 数值试验

第三章 分数阶稳态扩散方程的logN对角线迭代法

§3．1 引言

§3．2 有限差分离散及快速迭代法

§3．3 数值实验

第四章 结论

参考文献

致谢

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