关于黎曼zeta-函数及一类偏微分方程整函数解的值分布

摘要

二十世纪二十年代，芬兰数学家R.Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数，并以此创立了Nevanlinna理论，成为二十世纪最伟大的数学成就之一.它不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础，并且对其他许多数学分支的交叉和融合产生了重要的影响.R.Nevanlinna利用他所创立的亚纯函数值分布理论，研究了确定一个亚纯函数所需要得条件，得到著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理，从此拉开了亚纯函数唯一性理论研究的序幕.半个多世纪以来，国外数学家F.Gross，M.Ozawa，G.Frank，E.Mues，N.Steinmetz，H.Ueda,G.Gundersen及我国数学家熊庆来，杨乐等在唯一性理论方面取得了一系列令人瞩目的成果.近二十年来，仪洪勋教授一直致力于这方面的研究，做出了一系列富有创造性的研究成果，引起了国内外许多知名数学家的关注，有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展.本文主要包括作者得到的关于Ricmannzeta-函数的唯一性问题及一类偏微分方程的整函数解的值分布性质研究的几个结果.论文的结构如下安排.
　　 第一章，我们简单介绍Nevanlinna唯一性理论的主要概念、基本结果和一些常用的符号.
　　 第二章，我们研究了相关Ricmannzcta-函数的唯一性问题，应用ζ的值分布性质得到了一个唯一性定理，改进了BaoQinLi[8]的结果，回答了C杨重骏教授在[41]中所提的问题，并指出定理中的条件是严格的.定理主要结果有:
　　 定理1.设a，b，c∈Cu{∞}为扩充复平面上两两互异的点，若C上的亚纯函数f与黎曼zeta-函数ζ分担a,bCM和cIM(除去有穷多个例外值)，那么f=ζ.
　　 定理2.设a，b∈Cu{∞}为扩充复平面上非零的点，若C上的亚纯函数f与黎曼zeta-函数ζ分担a，bCM和0IM(除去可能存在的例外值，且例外值集合的增长级小于1)，那么f=ζ.
　　 第三章，我们研究了下述的偏微分方程(1-t2）(e)2u/(e)t2+z2(e)2u/(e)z2-t(e)u/(e)t+z(e)u/(e)z=0.(1)给出了此方程具有整函数解的充分必要条件，并研究了此整函数解得增长性与其Taylor系数之间的关系，得到了一个Lindelof-Pringsheim平行定理，推广了扈培础与杨重骏教授在[51]中的结果.主要定理有:
　　 定理3.偏微分方程(1)在C2上有一个整函数解u=f(t，z)，当且仅当u=f(t,z）具有如下的级数展开f(t，z)=∞∑n=0cnTn(t)zn，(2)(
　　 )且满足limsupn→∞n√|cn|=0，(3)(
　　 )其中Tn(t)=cos(narccost)为第一类Chebyshev多项式.
　　 定理4.设f(t，z)为偏微分方程(1)的整函数解，或由(2)(3)式所定义的整函数，则f(t，z)的增长级有ord(f)=limsupn→∞2logn/log1/n√|cn|进一步，若0＜λ=ord(f)＜∞，则f的增长型σ=typ(f)满足eλσ=2λ/2limsup2nn→∞2n√|cn|λ.
　　 第四章，我们定义了方程(1)整函数解的极大项μ(r)和中心指标v(r)，建立了此类两个变量的整函数上的Wiman-valiron理论.主要定理有:
　　 定理5.设f(t，z)为方程(1)的整函数解，或由(2)(3)式所定义的整函数，则其增长级ord(f)满足ord(f)=limsupr→∞log+log+μ(r)/logr=limsupr→∞(·)log+υ(r)/logr.进一步，若ord(f)＜oo，则limr→∞logM(r,f)/logμ(r)=1.
　　 第五章，对方程(1)的整函数解，我们给出了其无Picard例外值的条件，并得到了两个唯一性定理.主要定理有:
　　 定理6.设f(t，z)为偏微分方程(1)的整函数解，或由(2)(3)式所定义的整函数，且其增长级ord(f)＜∞，若满足下列条件之一
　　 (i)ord(f)=0或者ord(f)为非整数;
　　 (ii)ord(f)为正整数λ，且存在整数j＞0满足cj=cj+1=…=cj+λ-1=0，则f:C2→C为满映射.
　　 定理7.设f(t，z)，9(t，z)为偏微分方程(1)的超越整函数解，且增长级ord(f)＜∞，ord(g)＜∞.若f，g满足(e)jf/(e)zj(0，0)=(e)jg/(e)zj(0，0)，j=0，1，(…),q，其中q=max{[ord(f)]，[ord(g)]}，且存在一个复数a≠f(0，0)使得f与g分担aCM，则f=g.
　　 定理8.设f(t，z)为偏微分方程(1)的非常数亚纯解且ord(f)＜∞，g(t，z)为C2上的有穷级非常数亚纯函数.若f与g分担0，1，∞CM,那么g必定为f的分式线性变换，满足下列四种情形之一:(a)g=f;(b)gf=1;(c)gf=f+g;(d)存在一个常数b≠1和一个多项式β使得f=1/b-1(eβ-1），g=b/b-1(1-e-β）.

目录

声明

摘要

第一章 预备知识

§1．1 Nevanlinna值分布理论概要

§1．2 Chebyshev多项式的基本性质

第二章 相关黎曼zeta-函数的唯一性

§2．1 引言和定理

§2．2 主要引理

§2．3 定理2．1的证明

§2．4 定理2．2的证明

第三章 一类偏微分方程的整函数解及其增长性

§3．1 引言和定理

§3．2 定理3．1的证明

§3．3 定理3．2的证明

第四章 方程(3．2)整函数解的Wiman-Valirion理论

§4．1 引言和定理

§4．2 预备引理

§4．3 定理4．1的证明

第五章 方程(3．2)整函数解的值分布及唯一性研究

§5．1 引言和定理

§5．2 定理5．1的证明

§5．3 定理5．2的证明

§5．4 定理5．3的证明

参考文献

致谢

博士期间学术经历与完成论文情况

学位论文评阅及答辩情况表