Morse理论及其在拟线性椭圆型方程中的应用

摘要

变分学与偏微分方程是现代数学研究的重要领域，这一领域不仅在数学的其他分支，如微分几何，调和分析中具有重要的应用，而且在物理，力学，生物等学科中也得到广泛的应用。变分学研究带有极值（极小值或极大值）的泛函的极值存在性问题，通过判断泛函的临界点存在性来判定泛函的极值的存在性，这些临界点可以是某一坐标点，路径，也可以是曲线或者曲面，所以这类问题又称为临界点理论，其中Morse理论是变分法的一项重要内容，主要是为寻找临界点提供相应的方法。M.Morse最早研究大范围变分学并提出Morse理论，J.Milnor将Morse理论进行总结与完善，张恭庆系统地研究了无穷维Morse理论，同时利用这一理论解决了非线性偏微分方程的多解问题，王志强在无穷维Morse理论的基础上提出了等变Morse理论。本文在这些人的工作基础上对定义在带有边界的Hilbert-Riemann流形上的群不变函数的孤立临界点进行讨论，得到建立在这类流形上的等变Morse理论，并利用这一理论解决了带有Dirichlet边界条件的拟线性椭圆型方程的多解问题。
　　本文主要分为四章来讲述所研究的内容。第一章主要介绍了变分学的发展背景与本文的框架以及理论意义。在第二章，我们主要简单介绍无穷维Morse理论的相关概念以及变分法和拟线性偏微分方程中的一些相关定理，这些定义定理在后续的章节中具有重要的应用。
　　第三章与第四章是本文的重要内容，在第三章中，我们主要详细阐述了具有群不变的广义边界条件的流形上的Morse理论，我们分为四节来讲述，第一节主要讲述群作用的相关定义，引出了我们后续关注的对象:轨道，轨道空间，群不变空间及群不变函数，群等变映射。第二节我们主要讲述了带有群作用的广义边界条件，即群-边界条件，并探讨了满足这类边界条件的流形边界上的外法向量的合理性。第三节我们建立了具有群作用的广义边界条件的流形上的同调关系，即G-上同调与G-临界群以及Morse型数和Morse指标，而这类上同调关系是建立在带有群作用的纤维丛的基础上，所以我们先讲述带有群作用的纤维丛继而再研究这类上同调关系。最后我们给出群-边界条件下的等变Morse关系，即本章最重要的两个定理，等变Morse不等式与等变Morse胞腔粘合定理，对这两个定理进行了证明。
　　第四章主要是阐述拟线性椭圆方程的Dirichlet问题的群等变解存在性与解的多重性问题，我们分为四部分来进行说明。第一部分主要讲述来了群等变映射组成的Sobolev空间及其性质，即Poincare不等式与Sobolev不等式;第二部分主要讨论了紧李群作用下的椭圆型方程的不变性，我们选取带有特殊正交表示的紧李群作用于Laplace方程，由Laplace方程在群作用下的不变性进而得到群等变解是合理存在的;接着我们在第三部分讨论了二阶拟线性椭圆型方程的群等变解的多重性。我们对两类比较经典的椭圆型方程进行探讨，第一类是超线性椭圆型方程，我们通过第三章的等变Morse不等式证明了带有群作用的超线性Laplace方程的Dirichlet问题至少存在三个不同的群等变解。第二类我们讨论的椭圆型方程是Euler-Lagrange方程，且带有齐次的Dirichlet边界条件，根据山路引理和偶泛函的临界点存在性定理，我们证明了该Euler-Lagrange方程对应的泛函存在无界的临界值序列，对应有多个不同的临界点，从而说明此方程含有无限多个解。最后一部分我们给出了这两类椭圆型方程具体的例子来验证我们在第三部分中所得到的结论。

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 绪论

1．1 理论背景与研究进展

1．2 本文的主要内容与组织结构

第二章 预备知识

2．1 无穷维Morse理论

2．2 椭圆型方程的变分方法

第三章 在广义边界条件下的等变Morse理论

3．1 群G作用

3．2 群作用下的广义边界条件

3．3 群-边界条件下的G-上同调与G-临界群

3．3．1 带有群作用的纤维丛

3．3．2 G-上同调，G-临界群与Morse型数

3．4 群-边界条件下的等变Morse关系

第四章 拟线性椭圆型方程的群等变解与解的多重性

4．1 群等变Sobolev空间

4．2 带有紧李群作用的椭圆型方程的不变性

4．3 二阶拟线性椭圆型方程的群等变解与解的多重性

4．3．1 超线性问题

4．3．2 一般拟线性椭圆型方程的多解问题

4．4 案例分析

4 ．4．1 超线性问题的案例分析

4．4．2 p-Laplace方程

参考文献

致谢