非平稳金融高频数据下的非参数统计研究

摘要

金融数学模型中的统计推断问题是统计学研究的一个热点问题。众所周知，金融市场和经济现象中的随机性在数学上常常会用扩散过程来刻画，经典扩散过程可以看做随机微分方程dXt=μ（Xt）dt+σ（Xt）dWt的解，且已经被广泛的用于金融市场的各种资产价格波动模型和衍生品定价问题，例如由该模型衍生出来的带跳扩散过程模型可以用来解释股价的非光滑移动现象和重大风险事件对股价的影响。通常，对于定价问题的研究，大部分扩散过程模型的设定要求扩散过程满足平稳性。但很多实际情况中，金融数据往往是非平稳的。比如期权的交易价格与隐含波动率之间的关系，从业人员往往会更关注隐含波动率的数值变化。因此，在平稳性的设定下，考虑这些问题不太现实。最近，很多学者将研究集中在非平稳扩散过程的研究。
　　在非平稳金融数据的研究中，有一种情况值得注意:即数据差分后会表现出平稳性（例如:GDP）。在离散时间下，一些学者通过单位根过程，来研究非平稳金融数据，如（带漂移的股价随机游走过程）。Nicolau(2007Econometric theory)提出用二阶扩散模型{dYt=XtdtdXt=μ（Xt）dt+σ（Xt）dWt来研究非平稳金融数据。他在高频数据的假设下，研究了两个未知系数的非参数估计。他的研究属于非参数统计推断的范畴。统计推断的基本任务是由样本数据特征去推测总体。事实上，现有的一些统计推断理论直接用于处理实际的金融模型问题往往效果不好。例如，经典统计推断理论常常要给定模型的假设，如样本的总体的分布假设、样本间是否相互独立、数据的重复可试验性等等，这些条件对于金融市场来说，很多都还无法完全实现。即使非参数方法，虽然有着不需要事先假定密度函数的优势，但是对模型设定也很高。Nicolau(2007)采用了最常见的N-W估计的方法，对μ(x)，σ2(x)进行估计。Wang和Lin(2011)采用了局部线性估计改进了Nicolau(2007)的结果。但经典的核光滑化方法往往对对称分布效果较差。考虑扩散过程统计推断时，由于模型本身不是回归模型，而是近似回归模型，且存在内生变量。二阶扩散过程更是不能直接得到过程的采样值。因此，过程边际分布的对称性几乎没有。在使用对称化核方法估计时，边际结果往往很差。同时，考虑局部线性估计的大样本性质时，在考虑相依样本时，由于估计量的可料性结构遭到破坏，往往很难建立渐近分布性质。Wang和Lin(2011)只是给出了相合性，因此，无法建立近似的置信区间。本文的主要任务是将非对称核与局部线性估计方法结合起来，研究二阶扩散模型中漂移项及扩散项的非参数估计方法。本文的主要创新点在于:一、首次结合非对称核与局部线性的方法来处理非平稳金融高频数据;因此，本文的方法即保证了总体估计偏差小，又保证了边际结果。二、针对于非对称核的局部线性估计量，给出了渐近分布及其证明。本文行文结构如下:第一章中将简要介绍一下所需的随机分析基础，以及一些经典的非参数估计方法，第二章介绍二阶扩散模型，之所以关注这个模型，主要是考虑到金融市场和经济中一些关键的过程模型是可以由过去所有该过程的累加扰动影响的，比如股票价格和汇率，因此它们的时间序列并不满足平稳性，但差分之后平稳，但是扩散过程是几乎必然不可微的，因此考虑引入二阶扩散模型。第三章将构建针对二阶扩散模型的漂移项和扩散项的非参数估计方法并给出其大样本性质的证明。第四章将进行模拟及实证分析来检验构建的非参估计量的有效性及稳健性。

目录

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摘要

第一章 预备知识

§1．1．1 二次变差与It?等距

§1．1．2 It?公式

§1．2 非对称核密度估计

§1．2．1 核密度估计

§1．2．2 边界效应与非对称核函数

§1．3 非参回归

§1．3．1 Nadaraya-Waston估计

§1．3．2 局部线性估计

§1．4 二阶扩散模型

§1．4．1 前言

§1．4．2 非平稳金融数据

第二章 局部线性估计及大样本性质

§2．1 非对称核-局部线性估计量

§2．2 模型假设及主要结果

§2．3 一些引理

§2．4 主要结果证明

§2．4．1 (μ)n(x)的大样本性质

§2．4．2 (σ)2n(x)的大样本性质

第三章 模拟及实现

§3．1 数据的产生

§3．2 模拟结果

§3．2．1 偏差

§3．2．2 方差

§3．2．3 置信带

§3．2．4 RMSE

§3．2．5 渐近正态性

参考文献

致谢