基于零矩尺度函数与扩展有限元的波传播问题求解方法研究

摘要

小波有限元将小波分析引入传统有限元中，采用尺度函数作为插值函数进行逼近求解。利用小波的多分辨率特性，可以实现在不改变网格剖分下提高分辨率，大大减少计算量。传统有限元对于波传播问题的求解存在精度不够以及计算量大等问题，尤其是对于波数大的波传播问题。因此本文将小波有限元引入波传播方程的求解中，由于零矩尺度函数同时具有尺度函数消失矩和小波函数消失矩，简化了移动矩计算方法，使移动矩和联系系数等相关计算更方便、准确，因此本文将Coiflet小波有限元引入到波传播方程的求解中，从而为求解波传播方程提供更有效的求解方法。
　　首先，本文构造了二维Coiflet小波的尺度函数，并计算出了二维Coiflet尺度函数的函数值，继而构造了二维Coiflet小波有限元，并将其用于求解二维赫尔姆兹方程和瞬态波传播问题；另外还引入了一维Coiflet小波有限元，并将其用于求解一维赫尔姆兹方程，结果表明一维和二维Coiflet小波有限元均具有较高的精度。
　　其次，本文还构造了扩展有限元方案。该方法的本质是使用特殊函数对传统有限元的基函数进行了强化，在同一个节点上引入额外的自由度，从而提高传统有限元的求解精度。本文同样将该方法用于求解一维和二维解亥姆赫兹（Helmholtz）及瞬态波传播问题，结果均表明该方法具有比传统有限元更高的求解精度，尤其是对于高波数的波传播问题。

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1 绪论

1.1 课题概述

1.1.1课题来源

1.1.2 研究背景与选题意义

1.2 国内外研究现状和发展趋势

1.2.1 有限元法的发展及研究现状

1.2.2 小波分析及小波有限元的发展与研究现状

1.2.3 扩展有限元的发展及研究现状

1.2.4 声波在固体中传播的数值模拟及实验研究

1.3 论文主要内容及章节安排

2小波分析与有限元法的相关理论基础

2.1尺度函数与尺度空间

2.2 小波多分辨率分析

2.3 小波函数与小波空间

2.4 Coiflet小波的性质及相关计算

2.4.1 Coiflet小波的性质

2.4.2 尺度函数及联系系数的计算

2.5 有限元法

2.5.1 静态问题求解

2.5.2 瞬态问题求解

3 基于零矩尺度函数有限元的波传播问题求解

3.1 弹性动力学及固体介质的波动方程

3.2二维 Coiflet小波有限单元的构造

3.2.1 一维小波有限单元简介

3.3 Coiflet小波有限元的应用

4 基于扩展有限元法的波传播分析

4.1 扩展有限元法

4.1.1单位分解法（PUM）

4.1.2扩展有限元法理论基础

4.2数值算例

5 总结与展望

5.1 全文总结

5.2 展望

致谢

参考文献

附录 攻读学位期间发表学术论文题目