高阶时空谱方法求解几类发展方程

摘要

发展方程（抛物方程、波动方程和双曲方程等）在实际工程问题中有着广泛的应用。这些方程出现在材料、力学、光学、热传导、振动、流体运动、控制以及生物系统等方向。
　　在本文中，首先给出一阶非线性常微分方程组离散格式（谱配置法等），并使用矩阵变换的方法来求解二阶非线性常微分方程组。然后我们使用谱方法离散时间和空间方向来求解一维半线性抛物方程、一维Sine-Gordon方程、二维半线性抛物方程和二维广义Sine-Gordon方程，并给出空间半离散格式的先验误差估计结果。本文提出的方法具有时空谱精度。
　　主要做的工作包括下面几个方面
　　首先，给出了谱配置法求解一阶非线性初始值问题的格式，使用矩阵变换的技巧拓展这个方法求解二阶非线性初始值问题。使用类似的矩阵变换的技巧拓展经典的方法（边界值法等）求解二阶初始值问题。新的方法保持原来方法的精度，并且新的方法具有计算快、存储低的优势。我们并给出新方法的稳定性结果。
　　其次，应用Chebyshev–Galerkin谱方法离散一维半线性抛物方程的空间变量，然后使用谱配置法或块谱配置法离散时间变量，得到了在L2ω权范数下的空间半离散格式的最优阶误差估计结果。并与其他方法比较了CPU计算时间和误差。数值结果显示时空谱方法是一个很有效的算法。并且数值结果验证了时空谱方法在时间和空间方向都具有指数阶收敛性。
　　再次，使用时空谱配置法求解一维Sine-Gordon方程，给出了在L2范数下的空间半离散格式的最优阶误差估计结果。
　　接着，提出了一个高阶精度方法求解二维半线性抛物方程，这个方法基于使用Legendre–Galerkin谱方法离散二维半线性抛物方程的空间变量，然后用谱配置法来求解得到的一阶非线性常微分方程组。得到了在L2范数下的空间半离散格式的最优阶误差估计结果。
　　最后，构造了时空谱方法来求解二维广义的Sine-Gordon方程，得到了空间半离散格式在L2和H1范数下的最优阶误差估计结果。

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第1章 绪论

1.1 课题的背景和意义

1.2 课题的研究现状

1.3 预备知识

1.4 本文的主要研究内容

第2章 非线性常微分方程组的求解方法

2.1 引言

2.2 谱配置法

2.3 边界值法

2.4 隐式和对角隐式龙格库塔法

2.5 TVD龙格库塔法

2.6 稳定性

2.7 数值结果

2.8 本章小结

第3章 时空谱方法求解一维半线性抛物方程

3.1 引言

3.2 Chebyshev-Galerkin谱方法

3.3 半离散格式的先验误差估计

3.4 数值结果

3.5 本章小结

第4章 时空谱配置法求解一维Sine-Gordon方程

4.1 引言

4.2 谱配置法离散一维Sine-Gordon方程

4.3 半离散格式的先验误差估计

4.4 数值结果

4.5 本章小结

第5章 时空谱方法求解二维半线性抛物方程

5.1 引言

5.2 Legendre-Galerkin谱方法

5.3 半离散格式的先验误差估计

5.4 数值结果

5.5 本章小结

第6章 时空谱方法求解二维广义Sine-Gordon方程

6.1 引言

6.2 Legendre–Galerkin谱方法

6.3 半离散格式的先验误差估计

6.4 数值结果

6.5 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文及其他成果

声明

致谢

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