多维可压缩流体在常状态附近的扰动和Boltzmann方程边界层解的稳定性

摘要

本文分为两个部分，第一部分主要研究多维可压缩流体在非零常状态附近的扰动，考虑的方程包括偶数维可压缩的N-S方程以及多维带阻尼项的Euler方程；第二部分考虑了Boltzmann方程边界层解的时间稳定性． 对于发展方程，如果方程的光滑解整体存在，就可以考虑方程解的大时间渐进行为，也就是解在充分大时问时的发展趋势．本文分别考虑了可压缩的N-S方程组以及带阻尼项的Euler方程组解的大时间状态行为，这些方程描叙了在存在摩擦的情形下，质量、动量、能量的变化规律．对这些方程的研究，在数学理论和实际应用中都有非常重要的意义． 本文研究了偶数维等熵可压缩N-S方程组在非零附近解的逐点行为，在方程组整体光滑解存在的基础上，利用Green函数的方法得到了解的逐点行为．这一结果满足波在传播中的弱惠更斯原理。本文进一步考虑了偶数维空间非等熵N-S方程组在常状态附近解的逐点行为，得到的结果表明非等熵可压缩N-S方程组的解也满足弱惠更斯原理。 如果考虑流体在运动过程中受到阻尼的影响，带阻尼项Euler方程可以描叙这种情形下流体的行为。本文对带阻尼项的Euler方程组进行了考虑，证明了当初始条件具有紧支集时，解支集的压缩行为；另外，借助于带阻尼项的波算子的性质，考虑了方程组在非零常状态附近的扰动，得到了解的大时间渐进行为。 考虑稀薄气体中气体分子的运动时，一般利用Boltamann方程来考虑气体的运动规律。Boltzmann方程是关于某个时刻出现在某空间位置并以特定速度运动的气体分子概率密度的方程。如果考虑带边界区域内流体的运动，一般会在边界附近产生一个边界层，在边界层内满足平衡态方程。在半平面内，如果考虑没有分子从边界出去，并且在无穷远是为固定的Maxwellian的情形， S.Ukai，T.Yang和S-H Yu[48]，C-C Chen，T-P Liu和T.Yang[39]分别证明了hard sphere气体分子和hard potential气体分子平衡态方程解的存在性，并且给出了解的可解性条件。假定边界条件充分接近 Moo，当M<'∞>＜-1，方程存在唯一解．或者当-1＜M<'∞>＜0，边界条件形成一个余维数为1的C <'1> 流形，当0＜M<'∞>＜1，边界条件形成一个余维数为4的 C<'1> 流形，当1＜M<'∞>，边界条件形成一个余维数为5的C<'1>流形时，方程存在唯一解．对于Hard sphere气体情形，马赫常数满足M<'∞>＜-1，S.Ukai，TYang和s-H Yu[49]证明了当边界条件在M<,∞>附近，初始条件是平衡态附近的扰动时，平衡态解是稳定的，并且扰动解将以指数级形式衰减。由于hard potentials气体分子情形，线性化后的线性部分作用在微观部分只具有亚线性性质，使得不能期望得到解随时间的指数级衰减。本文利用反复加权迭代的方法，考虑了M<'∞><-1时，hard potentials气体分子情形边界层解的稳定性。这里，扰动将以代数级形式衰减。 下面对全文的结构安排作简单介绍。 第一章，绪论，在这一章中，我们简单介绍了问题的物理背景，数学模型，并对论文的主要结果以及证明方法给以简单说明。 第二章主要研究了偶数维等熵可压缩N-8方程组在常状态附近的扰动。在整体光滑解存在的基础上，采用Green函数的方法考虑了解的逐点行为。其次我们考虑了偶数维空间非等熵可压缩N-S方程组在常状态附近的扰动，同样考虑了解的逐点行为，这些结果与偶数维空间的弱惠更斯原理一致。 第三章主要研究带阻尼项的Euler方程组在常状态附近的扰动。研究了带支集的初始扰动解支集随时间的压缩现象；其次利用带阻尼项的波方程的性质，考虑了带阻尼项Euler方程解的大时间渐进行为。 第四章考虑了Boltzmann方程中边界层解的稳定性。主要利用变权反复迭代的方法，得到了扰动关于时间的代数级衰减，从而证明了边界层解的稳定性。

目录

摘要

第一章绪论

第二章N-S方程组在常状态附近的扰动

第三章带阻尼项Euler方程组在常状态附近的性质

第四章Boltzmann方程边界层解的稳定性

参考文献

致谢

附录：作者在站期间的主要学术论文