发展方程的重叠型区域分解并行算法

摘要

区域分解算法是上世纪八十年代崛起的新方向.由于该方法能将大型问题分解为小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为并行问题等其它方法无可比拟的优越性，而一举成为计算数学的热门领域.尤其是近些年，随着并行计算机和并行算法的迅速发展，区域分解算法正成为解决具有复杂区域或复杂过程的现实生活问题的强有力的工具。全文共分四章。 第一章，对一般的二阶抛物型方程提出一类新的区域分解并行算法.首先，运用羊丹平教授[15]提出的分裂正定混合元方法(SPDFME)思想，我们构造了抛物方程的全离散分裂正定混合元格式，此格式方程系数矩阵是对称正定的.其次，基于此混合元格式，结合徐进超教授提出的并行子空间校正算法，我们建立抛物问题的并行混合有限元算法I(PMFE algorithm I)。分析了全离散分裂正定混合元格式及并行混合元算法I的收敛性，并给出相应的误差估计.对于并行混合元算法I，一些算例被给出.从这些数值结果中可以看出，在每一时间层上只需要迭代一次或两次就能达到理论最优阶，这正和理论分析的结果一致.此外，基于抛物问题的一般混合元格式，在本章最后一部分，我们还提出了抛物问题的另一并行算法；并行混合有限元算法II(PMFEalgorithm II).运用前面的一些理论分析结果，研究了此并行算法的收敛性并给出相应的误差估计。 第二章，着重研究多孔介质中的相容驱动问题区域分解并行算法.我们知道，对于对于多孔介质中的相容驱动问题，羊丹平教授提出了分裂正定混合元方法。此方法中，方程的系数矩阵对称正定，并且压力方程与流函数方程分离.这样使得我们能够不依赖于压力方程而单独求解流函数和饱和度.本章算法的思想就是基于与压力无关的流函数方程和饱和度方程，运用第一章中抛物型方程的并行混合有限元算法I的思想，建立一种新的并行混合有限元算法，从而并行地求解流函数及饱和度.研究了此算法的收敛性并给出了误差结果.从误差估计中我们能够看出在每一时间层上只需要迭代二次就能达到收敛的最优阶.在§2.1中介绍了问题的物理背景以及研究的目的和动机.在§2.2中我们给出多孔介质中的相容驱动问题的全离散分裂正定混合元格式，并形成一个并行混合有限元算法.在§2.3中我们给出用以证明并行算法收敛性定理的一些重要引理.在§2.4中，我们证明并行算法的收敛性定理。 第三章，主要研究时间依赖的对流扩散方程的区域分解并行最小二乘算法.目前，已经有大量的文献是关于最小二乘有限元格式及它们在椭圆边值问题的应用，一些椭圆问题的对称理论和逼近解的收敛性理论被建立，见文献[62，63，64，65，66，67，68，69，72，74，76，77，78].最小二乘有限元方法也被扩展到时间依赖的问题，如[71，73，75，79，80，81].本章中，运用羊丹平教授在文献[79]中提出的时间依赖的对流扩散方程的最小二乘格式I和格式Ⅲ，我们提出了两种并行最小二乘算法：并行最小二乘算法Ⅰ和并行最小二乘算法Ⅱ.算法基于重叠区域分解和子空间校正，通过引入单位分解函数，合理地分配重叠区域的校正量.算法在每个子域上分别进行残量校正，各子域之间可以并行计算.分别分析了并行最小二乘算法I和并行最小二乘算法II的收敛性，并给出相应的误差估计.本章的最后，给出了数值算例，对最小二乘格式与并行最小二乘算法进行了比较，分析了收敛率对离散参数及迭代次数的依赖性.本章的部分主要结果已经投递刊物(见[60])。 第四章，研究了二阶双曲方程的区域分解并行混合有限元算法.我们知道，双曲方程描述了自然界中的波动现象，在物理、化学、生物等不同领域都有着非常重要的意义.对于二阶的双曲方程，已建立了大量的数值求解方法。对于双曲方程的并行算法，目前也有大量研究工作.Y.H.Wu，X.C.Cai和David E.Keyes研究了一阶双曲问题的加性Schwarz方法。田敏在其博士论文中研究了二阶双曲方程的并行有限差分算法，论证了在每一时间层上的收敛性及对子区域重叠度、空间网格步长、时间步长及迭代次数的依赖性。本章我们研究的目的是，运用第一章提出的抛物方程的重叠区域并行混合元算法的思想，构建一种新的并行算法求解双曲方程。分析了此并行算法的收敛性并给出相应的误差估计.在§4.1中，我们陈述了本章的研究目的和动机。在§4.2中，运用羊丹平教授在[15]中提出的分裂正定混合元思想，我们给出双曲方程的一个分裂正定混合元格式，并依此为基础构造该问题并行混合元算法.在§4.3中，给出一些重要的引理，我们将用来分析双曲方程并行混合元算法的收敛性.在§4.4中，我们分析并行算法的收敛性，并给出相应的误差估计。

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论文说明：图表目录

声明

第一章抛物问题的并行混合有限元方法

§1.1引言

§1.2并行混合有限元算法Ⅰ

§1.2.1并行混合有限元算法Ⅰ的形成

§1.2.2预备知识

§1.2.3收敛性分析

§1.2.4数值算例

§1.3并行混合有限元算法Ⅱ

§1.3.1并行混合有限元算法Ⅱ的形成

§1.3.2收敛性分析

第二章多孔介质中可压缩相容驱动问题的并行分裂正定混合元方法

§2.1引言

§2.2并行算法的形成

§2.3一些引理

§2.4收敛性分析

第三章时间依赖的对流-扩散问题的并行最小二乘方法

§3.1引言

§3.2并行最小二乘算法的形成

§3.3一些引理

§3.4并行最小二乘算法Ⅰ的收敛性分析

§3.5并行最小二乘算法Ⅱ的收敛性分析

§3.6数值算例

第四章二阶双曲方程的并行混合有限元方法

§4.1引言

§4.2并行算法的形成

§4.3一些重要引理

§4.4收敛性分析及误差估计

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成论文情况

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