两类具有常数输入率的SIRS模型的稳定性与最优控制

摘要

人们利用常微分方程所建立的数学模型来研究疾病的传播规律,预测疾病发展机制.但大多数成果在假设种群数量不变的基础上得到的.事实上,人口流动性较大,人口输入率、输出率等对人口数量变化有较大影响.本文对SIRS模型进行改进,建立了两类具有常数输入率的SIRS模型,并作了稳定性分析与最优控制.全文分为三章.
　　第一章简要介绍了传染病模型的发展背景与SIRS模型的研究现状.
　　第二章本章研究具有常数输入率与标准传染率的SIRS模型:此处公式省略
　　首先,利用Hurwitz判别法分别讨论了无染病者输入时和有染病者输入时平衡点的局部渐近稳定性.其次,通过构造李亚普诺夫函数法对平衡点的全局渐近稳定性进行分析,最后利用极值原理得到了疾病暴发早期的最优控制方案.
　　第三章本章研究具有常数输入率与阶段结构的SIRS模型:此处公式省略
　　首先,利用z?ν函数法找到疾病消除的临界阈值即基本再生数R0.其次,通过构造李亚普诺夫函数法对平衡点的全局渐近稳定性进行分析,最后通过构造性能指标函数对疾病爆发后期设计控制方案,得到了性能指标最优时的控制方案,为疾病得以有效控制提供了有力参考.

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第一章 绪 论

1.1 传染病模型的研究背景与意义

1.2 SIRS 模型的研究现状与本文的主要工作

第二章 具有常数输入率与标准传染率的 SIRS模型的稳定性与最优控制

2.1 模型的构造

2.2 预备知识与基本性质

2.2.1 预备知识

2.2.2 基本性质

2.3 无染病者输入时平衡点的稳定性

2.3.1 平衡点的局部稳定性

2.3.2 平衡点的全局稳定性

2.4 有染病者输入时平衡点的稳定性

2.4.1 平衡点的局部稳定性

2.4.2 平衡点的全局稳定性

2.5 最优控制

2.5.1 最优控制模型

2.5.2 最优控制模型的存在性

2.5.3 最优隔离控制

第三章 具有常数输入率与阶段结构的 SIRS模型的稳定性与最优控制

3.1 模型的构造

3.2 基本性质与基本再生数

3.3 平衡点的稳定性

3.3.1 平衡点的存在性

3.3.2 平衡点的局部稳定性

3.3.3 平衡点的全局稳定性

3.4 最优控制

3.4.1 最优控制模型

3.4.2 最优控制模型的存在性

3.4.3 最优接种控制

3.5 总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间完成的主要学术论文

致谢