非凸二阶锥规划问题的非线性重新尺度化方法

摘要

非线性Lagrange函数是经典的Lagrange函数的修正形式，它关于乘子向量或约束函数是非线性的函数，非线性重新尺度化方法是基于一类非线性Lagrange函数建立的求解优化问题的方法.非线性重新尺度化方法是求解约束优化问题的一类重要的算法。 另外，二阶锥规划问题在工程、与鲁棒优化相关的控制和金融以及组合优化等领域都有着广泛的应用.而对非凸二阶锥规划问题的数值方法的研究还不很多.本论文主要研究非凸二阶锥规划的非线性重新尺度化方法的收敛速度，所阐述的主要研究结果可概括如下： 1.第三章主要研究了一类求解非凸二阶锥规划问题的非线性重新尺度化方法.首先分析了Lowner算子的微分性质，借助Lowner算子构造了一类求解非凸二阶锥规划问题的非线性Lagrange函数并建立了相关的非线性重新尺度化方法，接着给出了与Lowner算子相关的实值函数所满足的条件，以保证算法的收敛性.然后研究了该类非线性Lagrange函数的微分性质，最后在适当的假设条件下证明了当算法中的子问题精确求解时该算法的收敛速度.收敛定理表明：当惩罚参数t小于某一阈值时，基于该类函数的算法生成的原始-对偶序列是局部收敛的，且原始-对偶解的误差界与t成正比.与非线性规划的非线性重新尺度化方法相比，我们在收敛性分析中需要增加对非凸二阶锥规划的二阶充分性条件中的sigma项的处理。 2.第四章主要研究了当算法中的子问题近似求解时算法的收敛速度.首先给出了与Lowner算子相关的实值函数所满足的一些条件，以保证非精确算法的收敛性.然后提出了求解子问题时的终止准则，证明了在使用该准则作为子问题终止条件时非线性重新尺度化算法的收敛速度.收敛定理表明：当惩罚参数t小于某一阈值时，基于该类函数的对偶算法生成的原始-对偶序列是局部收敛的，且原始-对偶解的误差界与t成正比。 3.第五章验证了文献中给出的修正的Frisch函数、修正的Carroll函数、Log-Sigmoid函数、MEC函数、MFC函数均满足第三章及第四章所提出的条件，并用基于这五个函数的非线性重新尺度化方法计算了两个文献中给出的数值例子。数值结果表明该类算法是有效的。

目录

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英文文摘

声明

1绪论

1.1二阶锥规划的研究背景

1.2二阶锥规划的发展现状

2二阶锥的最优性条件

2.1一般约束集合的变分几何

2.1.1集值映射的极限

2.1.2增广实值函数的方向上图导数

2.1.3集合的切锥及二阶切集

2.1.4凸函数水平集的切锥及二阶切集

2.2二阶锥规划的最优性条件

2.2.1二阶锥的切锥及二阶切集

2.2.2欧氏若当代数与谱分解

2.2.3 SOP的一阶最优性条件

2.2.4 SOP的约束非退化条件及严格互补条件

2.2.5 SOP的二阶最优性条件

2.3本文内容介绍

2.4预备知识

3一类求解非凸二阶锥规划的非线性重新尺度化方法

3.1引言

3.2 1 L(o)wner算子

3.3一类非线性Lagrange函数

3.3.1问题的假设条件

3.3.2非线性Lagrange函数的性质分析

3.4收敛速度分析

3.5本章小结

4子问题非精确求解的算法收敛速度分析

4.1假设条件及引理

4.2收敛速度分析

4.3本章小结

5特例和数值结果

5.1特例

5.2数值结果

结论与展望

参考文献

攻读博士学位期间学术论文完成情况

论文创新点摘要

致 谢

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