几类典型PDEs高次有限元方程的快速算法研究

摘要

H(D)(D=grad,curl,div)型椭圆偏微分方程和Maxwell鞍点问题是几类典型的微分方程组(PDEs).高次有限元方法是求解这几类偏微分方程的重要离散化方法,由于这些离散系统系数矩阵的条件数较强地依赖于网格规模、跳系数分布及有限元的次数(如HBk分层基下的高次有限元)等,因此研究其快速求解算法非常必要.本文利用基于辅助空间的预条件子方法、代数多层网格(AMG)法和非重叠区域分解法(DDM),比较系统地研究了上述几类典型PDEs的高次有限元离散系统的高效预条件子及相应的快速求解算法，获得以下主要结果。
　　针对含跳系数的H(grad)型椭圆问题在HBk分层基下的高次有限元方程,给出了一种基于块磨光方法的并行两水平预条件子算法(TLB-p),它本质性地将高次元预条件子构造问题转化为相应的线性元预条件子构造问题.通过将线性元预条件子取为经典并行AMG预条件子,获得了求解高次元方程的第一种预条件子(TLB-AMG-p),数值实验结果表明,相应的并行PCG法的迭代次数基本不依赖于网格规模,弱依赖于高次元的次数以及系数的跳幅,接着,设计了一种基于非重叠DDM的线性元预条件子,与已有的非重叠DDM预条件子相比,它具有粗空间简单和计算复杂度低等优点,理论和数值实验结果表明该预条件子对应的预条件系统的有效条件数是渐近最优的,基于该线性元预条件子,我们得到了另一种求解高次元方程的预条件子(TLB-DDM-p),数值实验结果表明,相应的PCG法也是高效的.
　　针对H(curl)型椭圆问题的两类高次棱有限元离散系统,利用高次元空间的稳定性分解理论和上述构造的H(grad)型高次元预条件子,本质性地将H(curl)型高次元预条件子构造问题转化为相应的线性元预条件子构造问题.进一步,通过将线性元预条件子取为一种基于辅助空间的预条件子,得到了求解H(curl)型高次棱元方程的第一种预条件子,数值实验结果表明,不论是对光滑系数还是对有无浮动子区域的跳系数情形,相应的并行PCG法的迭代次数都基本不依赖于网格规模,弱依赖于系数跳幅,且具有很好的算法可扩展性.接着,设计了一种基于非重叠DDM的线性元预条件子,它具有与上述H(grad)型线性元DDM预条件子同样的优点,特别对常系数的情形,证明了该预条件系统的条件数是渐近最优的.数值实验验证了理论的正确性,同时表明对大跳系数的情形,该预条件子也是高效的.
　　针对Maxwell鞍点问题零阶项系数γ=0的情形,利用正则化思想和辅助空间预条件子方法,为高次棱元鞍点系统设计了一种新的Uzawa算法.特别针对光滑系数下的线性棱元鞍点系统,证明了该Uzawa法的收敛率与网格规模无关.数值实验结果表明,不论是对于有无浮动子区域及有无内交叉点的跳系数情形,该Uzawa法的迭代次数基本不依赖于系数跳幅及网格规模,且比常用的Uzawa法具有更强的健壮性和更高的运算效率.
　　针对H(div)型椭圆问题的两类高次有限元离散系统,建立了一般高次元空间的稳定性分解理论,它本质性地将H(div)型高次元预条件子构造问题转化为相应的线性元预条件子和H(curl)型高次元预条件子的构造问题.进一步,利用上述构造的H(curl)型高次元预条件子和基于辅助空间的线性元预条件子构造方法,获得了一种H(div)型高次元预条件子,理论上证明了相应的预条件系统的条件数不依赖于网格规模,数值实验验证了理论的正确性,同时也表明了算法的高效性和健壮性.

目录

声明

摘要

Abstract

第一章绪论

第二章预备知识

常见记号及若干术语

并行 PCG 法

基于辅助变分问题的预条件子理论

第三章H(grad) 型椭圆问题

模型问题及高次元方程

并行两水平法

基于 AMG 的两水平预条件子

基于 DDM 的两水平预条件子

线性元的 DDM 预条件子

关于高次元的两水平预条件子

第四章H(curl) 型椭圆问题

模型问题及高次棱元方程

一种基于辅助空间的预条件子构造方法

基于 BoomerAMG 的预条件子

基于非重叠 DDM 的预条件子

一种非重叠 DDM 预条件子

条件数估计

数值实验

第五章Maxwell 鞍点问题

模型问题及鞍点系统

一种求解 Ndlec 棱元鞍点系统的 Uzawa 算法

Uzawa 算法的数值实验

第六章H(div) 型椭圆问题

模型问题及高次元方程

第一类有限元方程的预条件子

第二类有限元方程的预条件子

算法实现与数值实验

总结与展望

参考文献

致谢

个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果