一致域、John域和双曲等距映射的特征及拟测地线的拟凸性

摘要

为了研究复平面C上的bi-Lipschitz映射的近似理论和单叶性问题，1961年，John引进了一类域．此类域于1978年被Martio和Sarvas命名为John域．为了推广Ahlfors关于拟圆中共形映射单叶性性质的研究，1978年，Martio和Sarvas提出了一类新的域：一致域．众所周知，关于拟圆性质的研究已有许多，并已得到广泛应用．由于John域和一致域均为拟圆的推广，从而这两类域能保持拟圆的哪些性质、又具有哪些独特性质等受到了人们极大的关注．双曲空间Hn中关于Poincaré度量的等距映射是Klein群和双曲流形中的基本组成元素，故它们具有哪些特性是一个基本而又重要的问题． 本学位论文主要内容包括两个方面．第一个方面，利用拟双曲度量、jD度量、Apollon度量及其对应的内度量等来刻划一致域和John域，得到了一系列结果，从而解决了由Broch、Hasto、Ponnusamy、Sahoo、Vaisala在《Results in Mathematics》等上提出的三个公开问题．另一方面，讨论了Hn中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题，并完全解决了最近由李保奎和姚国武在《Mathematical Proceedingsof Cambridge Philosophy Society》上提出的猜测． 第一章，主要介绍了研究问题的背景和得到的主要结果． 第二章，讨论了Euclid空间Rn(n≥3)中拟共形映射中的Riemann映射定理，证明了Rn中的有界凸域一定是拟球，从而推广了已有的相关结果，也说明拟共形映射中的Riemann映射定理对Rn(n≥3)中的有界凸域是成立的． 第三章，利用双曲度量和λ-Apollon度量得到了C中的Jordan域是John圆的一个充分条件，同时构造了两个例子说明此结果的逆不成立．从而完全解决了Broch于2004年提出的一个猜测． 第四章，利用测地线的最大最小性质、拟双曲度量及Apollon度量等，得到了John域的三条特征．这些特征是Gehring、Hag、Herron及Broch等所得相应结果的推广． 第五章，主要研究Apollon内度量和一致域之间的关系．利用Apol-lon内度量，得到了一致域的一个充要条件．此结果说明，完全解决了Hasto、Ponnusamy、sahoo于2006年提出的公开问题．同时，本文讨论了拟迷向域、Apollon拟凸域和A-一致域彼此之间的关系． 第六章，作为第五章中讨论的继续，利用类似于第五章中的方法，讨论了Apollon内度量和John域之间的关系，得到了有界Jordan域是John域的一个充分条件，从而完善了第五章中的相应讨论． 第七章，研究了Rn中John域的可分解性和可去性．在此章中，定义了John域可分解性的概念，证明了Rn中的域是John域当且仅当此域是John域可分解的；同时还得到了Rn中的任意一个John域去掉其中有限个点后还是John域，并给出了所得结果的应用．还构造例子说明结论中的条件“有限个点”的最佳性． 第八章，主要研究了Rn中一致域的可分解性及实赋范向量空间中拟测地线的拟凸性．首先，在Rn中定义了一致域可分解性这一概念，它是拟共形可分解性的推广．利用构造的方法，证明了Rn中的域是一致域当且仅当此域是一致域可分解的．作为应用，构造实例说明Rn中存在不是拟球的一致域．其次，证明了实赋范向量空间中的拟测地线是拟凸的．此结果肯定回答了Vaisala于2005年提出的一个公开问题． 第九章，讨论了Hn中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题．结果是：Hn中把r维双曲面(1≤r

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文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1双曲度量、拟双曲度量、jD度量、Apollon度量以及Apollon内度量、λ-Apollon度量

1.2一致域

1.3 John域

1.4双曲等距映射

第二章高维空间中的有界凸域

2.1引言及主要引理

2.2定理的证明

第三章双曲度量、λ-Apollon度量和John圆

3.1引言

3.2猜测3.1.1的充分性证明

3.3主要定理的证明

第四章测地线的最大最小性质、拟双曲度量、Apollon度量和John圆

4.1引言

4.2定理4.1.1和定理4.1.2的证明

4.3定理4.1.3和定理4.1.4的证明

第五章Apollon内度量和一致域

5.1引言

5.2预备知识

5.3定理5.1.1的证明

5.4几种特殊域之间的关系

第六章Apollon内度量和John域

6.1引言

6.2主要引理

6.3定理6.1.1的证明

第七章John域的可分解性和可去性

7.1引言

7.2主要引理

7.3定理7.1.1的证明

7.4定理7.1.2的证明

7.5定理7.1.3的证明

第八章Rn中—致域的可分解性和实赋范向量空间中拟测地线的拟凸性

8.1引言

8.2一则引理

8.3定理8.1.1的证明

8.4定理8.1.2和例8.1.1的证明

8.5凸域中的拟测地线

第九章双曲空间中的等距映射

9.1引言

9.2定理9.1.1的证明：n=2

9.3定理9.1.1的证明：n≥3

结论

参考文献

攻读博士学位期间完成的论文

致谢