非等熵情况下气态星体的稳定性

摘要

有自引力势能的气态星体内部结构随时间的发展变化可以由Euler-Poisson系统来描述，它包括由质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程构成的Euler方程组及由星体本身密度决定的自引力势能所满足的Poisson方程：{pt+div(pu)=0,(pv)t+div(pu(⊙)v)+▽P=-P▽Φ,(pS)t+div(pSv)=0,ΔΦ=4πgp,其中P=p(x，t)，v=v(x，t)，S：S(x，t)，P，g和Φ分别表示星体的密度，运动速度，熵函数，气体压力，引力常数和自重力势能．t≥ 0表示时间，空间变量x∈R3. 气体压力满足下面的状态方程： P=Apγes． 其中A为常数，为了便于讨论，本文将其正规化为1，绝热指数为γ>1的常数． Euler—Poisson系统解的稳定性是天体物理学家非常关心的问题，他们对解的稳定性做了一些猜想，但并没有给出严格的理论证明．Euler-Poisson系统解的存在性和稳定性等都与绝热指数和熵函数密切相关．近年来，国内外许多学者对系统定态解的存在性做了一系列研究，并且当熵函数为常数时，证明了一部分解的稳定性的猜想．当熵函数为一般函数时，问题变得更加复杂，就我们所知，到目前为止，熵函数为一般函数时还没有相关的稳定性结果． 本文主要研究非等熵时气态星体的稳定性和定态解的存在性．当4/3<γ<2，S(x，t)为光滑有界函数时，在全空间R3上首先用集中紧方法得出使系统能量达到最小的解，然后主要用变分方法证明了非等熵时该能量最小解是稳定的．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一节引言

1.1问题的由来

1.2主要结论

1.3本文结构

第二节预备知识

2.1记号与标记

2.2相关的引理

2.3定理1.1的证明

第三节Euler-Poisson系统的定态解

3.1方程的转化

3.2能量最大解的存在性

3.3山路引理型径向解的存在性

第四节稳定性分析

4.1一个恒等式

4.2定理1.2的证明

4.3定理1.3的证明

参考文献

致谢