带分数阶Laplace算子的耦合Schrödinger系统的解的存在性

摘要

本文主要研究了非局部耦合Schrodinger（薛定谔）系统在有界域和全空间上的解的存在性.文章从带非局部算子(分数阶Laplace算子)的Schrodinger方程（薛定谔方程属于量子力学基础方程，由物质波概念和波动方程组合建立的一种二阶偏微分方程）出发,首先给出了一些带分数阶Laplace算子的Schrodinger方程分别在有界域和全空间上的解w的一些性态等结论,然后在这些已有结论的基础上,采用变分法,分别在有界域和全空间上讨论带分数阶Laplace算子的Schrodinger方程组的解的存在性.方程组如下：
　　非局部算子Aα的定义如下:
　　Aαu=∫?(u(x)?u(y))·γ(x,y)dy=?D(D?u),0<α<2.
　　在有界域上,在维数N≤3时,本文主要证明了当方程组中的系数满足0≤βmax{μ1,μ2}时,系统存在极小能量解u=(u1,u2)并给出了解u与单个方程的解w之间的关系.
　　在全空间RN上,本文主要证明了在N,α满足
　　此处公式省略时,存在v0与λ,μ1,μ2相关,当满足0≤β

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1 绪论

1.1 选题背景与意义

1.2 国内外相关研究现状

1.3 研究方法

1.4 本文研究的主要内容和结果

1.5 本文的结构安排

2 预备知识

2.1 泛函分析知识

2.2 Sobolev空间

2.3 非局部的一些理论知识

3 有界域非局部耦合Schr ¨odinger系统的解的存在性研究

3.1 问题的提出

3.2 弱解

3.3 解的存在性及其证明

4 全空间上非局部耦合Schr? dinger系统的解的存在性研究

4.1 问题的提出

4.2 单个非局部Schr ?dinger方程的解及其解的一些性质

4.3 两个引理

4.4 几个不等式及其证明

4.5 系统的解的存在性证明

5 一些展望

致谢

参考文献