求解非线性对流反应扩散方程的预估-校正单调迭代差分方法

摘要

众所周知，生物学，生态学，生物化学，物理学以及金融学等应用领域中的许多现都可以用非线性对流反应扩散方程来描述，对这类方程给出一种有效的数值求解方法具有一定的实际意义。一个有效的数值方法不仅要肯有较高的精度和数值稳定性，而且要能保持原始问题的一些性质，这样数值结果才能更好地模拟实际问题。目前，虽然国内外已忣许多求解非线性反应扩散方程的数值解法，如Petrov－Galerkin方法（见参文献[10-12]）和有限差分方法（见参考文献［13-16，48］），但它闪的精度大多仅局限于O(r+h2),其中r为时间方向上的步长，h为空间方向上的步长，这个缺点大大限制了它们在实际中的应用。本文给出了一种具有较高精度的有限差分方法并讨论有限分格式解的一些性质。 本文主要分为两个部分。 在第二章中，为了研究论文的主要问题，我们首先考虑定常问题我们研究了一维棖圆方程边值问题的高精度差分方法。本文利用Lagraneg插值理论与积分因子技巧，发展了一套有效的高精度算法，并证明对非等距节点和筀　节点，其精度分别可达o(h4)和(h2)。与现有的标准差分方法进行比较，数值结果显示该算法的优越性。 在第三章中，我们利用积分因子的思想建立求非线性对流反应扩散方程的有限差分方法，对于非线性项我们运用上下解方法构千，寒流解差分格式的单调迭代方法，此单调迭代方法不仅证明　了解的存在唯一性，而且也是求解非线性差分格式的一种有效方法。紧接着我们讨论了差分格式的称定性和收敛性。并基于此有限差分方法，我们建立了一种高精度的预估，校正有限差分格式，同时证明预估－校正格式在时间方向上具有二阶精度，在空间方向上具有四阶精度，即（r2+h4）。从而达到了时空精度的匹配。最后我们同样给出了一些数值结果，数值结果显示了算法的有效性。