若干数学物理正问题与反问题的算法及其应用

摘要

数学物理反问题是源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实际问题，其困难之处在于反问题大多属于不适定问题，但相应的正问题却是适定的。 本文研究的问题分别属于下面三个反问题领域中的问题：热传导方程问题、数值微分和生物电磁场问题。全文共分为三部分。 第一部分，我们讨论了多层介质中的一维热传导问题。该问题的数学模型是从实际工业生产中产生的，我们简单的讨论了如何根据物理定律去推导数学模型。根据数学模型，我们先讨论了和正问题相关的数学理论，给出了正问题的局部存在性、有界性和全局唯一存在性。同时，我们还给出了数值求解正问题的算法，算法是基于有限差分格式的，我们比较了三种不同的处理连接条件的方法并确定二阶差分格式的稳定性是最佳的。我们还讨论了该模型的反问题，即如何求解初始温度和区域的长度。我们证明了在一定的条件下，反问题具有唯一性。在数值求解方面，我们在[70]一文的基础上，改进得到了一个求解初始温度的稳定数值算法，并同时给出了如何求区域长度的算法。试验证明，我们的算法可以被应用于实际问题中。 第二部分, 讨论了周期函数的数值微分问题。数值微分是一个典型的在Hadamard意义下的不适定问题，所以我们选择了吉洪诺夫正则化方法来处理这个问题。结果表明，正则化解是分片样条函数。我们讨论了正则化解的唯一性，还给出了相应的误差估计。最后，我们给出了周期函数数值微分的一个应用一颈动脉顺应性的计算。我们先从弹性腔模型出发，推导出计算颈动脉顺应性的公式，然后根据仪器测量得到的结果，计算了一个正常人和一个动脉粥样硬化病人的顺应性，并做了比较。 最后一部分，我们讨论了核磁共振成像技术(Magnetic Resonance Elastography)。本文首先简单介绍了其工程背景。接着从实际出发，建立了系数为分片光滑函数的假设下这类问题的标量方程数学模型，提出了相应的反问题。进一步，我们证明了通过波场的内部测量值，可以在剪切(压缩)波传播到的区域里唯一确定Lamé方程和波方程与空间相关的系数。最后，我们应用了一种称为变分同化的变分逼近方法来数值反演波方程的系数，由于我们的问题是不适定的，所以我们还利用正则化的办法，给变分方程加上了正则化项。

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第一章一维多层热传导的正问题和反问题

§1.1问题介绍

§1.2正问题的理论和计算

§1.2.1关于时间的局部存在性

§1.2.2定理的证明

§1.2.3正问题数值方法

§1.3反问题的理论和计算

§1.3.1反问题提法

§1.3.2反问题唯一性的证明

§1.3.3反问题数值计算方法

§1.3.4反问题数值算例

第二章周期函数的数值微分问题

§2.1背景简介

§2.2周期函数的一阶导数问题

§2.2.1问题的提法和结果

§2.2.2极小元的存在性，构造和唯一性

§2.2.3误差估计

§2.3周期函数的高阶导数问题

§2.3.1问题提法

§2.3.2主要理论结果

§2.4数值算例

§2.5周期函数数值微分的应用：颈动脉顺应性的计算

§2.5.1模型的导出

§2.5.2数值模拟

第三章一类关于波动方程系数反问题的讨论

§3.1背景简介

§3.2反问题的提出

§3.3反问题的唯一性

§3.3.1反问题唯一性结论

§3.3.2连接问题

§3.3.3有限传播速度

§3.3.4唯一开拓性

§3.3.5唯一性定理的证明

§3.4数值方法和算例

§3.4.1数值方法

§3.4.2数值算例

参考文献

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