复Clifford分析中复正则函数的一些性质

摘要

本文研究了复Clifford分析中的复正则函数,得出一些基本性质以及Taylor展式,它是单复分析中全纯函数的一种向高维空间的推广.本文共分为三部分:
　　第一部分给出了相关预备知识,一些基本运算和基本引理.首先介绍了复Clifford代数An的定义及基本运算,之后给出了Clifford数a的一种分解形式a=Pa+Qaen以及关于这种分解中的P,Q部的基本性质,最后给出了复正则函数的定义.这些内容为本文研究复正则函数的性质奠定了基础.
　　第二部分介绍了复正则函数的等价条件以及构造问题.首先讨论了复正则函数的一些基本性质,进一步得到了它的多个等价条件,即PQ形式的等价描述;其次,讨论了复正则函数的构造问题,通过对复调和函数利用P, Q部以及积分表达式构造出复正则函数,得到了复正则函数与复调和函数之间的关系,这个关系类似于经典分析中解析函数与调和函数的关系.
　　第三部分,讨论了一个复正则函数,与Taylor级数的关系,首先定义了k阶齐次多项式的左球内正则函数Pk(z),随后找到其一组基Vl1,l2,…lk并证明其为左球内正则函数,最后得到了复正则函数,展开的Taylor级数形式:f(z)=∑∞k=0(∑(l1,l2…lk)VVl1,l2,…lk(z)δkf(0)/δzl1δzl2…δzlk).它从形式和内容上均很好地对应了我们经典的Taylor级数,这里Vl1,l2,…lk的作用类似于经典‘Taylor·级数中的复变量z.
　　最后,在结论中我们分析了复正则函数的已有成果和相关前景,其函数理论性质有待进一步完善.
　　以上内容的研究进一步完善了复正则函数的理论,使得我们对于Clifford分析中的函数有了更多更深入的认识,为我们今后研究复正则函数的其他性质和应用奠定了基础.