关于一些概率方法在正线性算子逼近中的应用

摘要

本文主要讨论了一些概率方法在正线性算子逼近中的应用，全文共分四章. 第一章，介绍了随机方法与正线性算子逼近理论之间的关系，同时介绍了本文的一些主要结果. 第二章，文献中介绍了Bernstein多项式具有保存Lipschitz常数的性质，并得到如下定理： 定理A：如果f∈LipAμ，则对所有n≥1，Bn(f)∈LipAμ. 它是从Bernstein多项式的定义出发，先把Bn(f，x1)和Bx(f，x2)分别化成下列双和形式： Bn(f,x2)=n∑k=0n-k∑l=0n!/k!l!(n-k-l)!xkl(x2-x1)l(1-x2)n-k-lf(k+l/n) Bn(f,x1)=n∑k=0n-k∑l=0n!/k!l!(n-k-l)!xkl(x2-x1)l(1-x2)n-k-lf(k/n) 然后经过一些复杂的初等运算，同时利用定理A的条件证得 ｜｜Bn(f,x1)-Bn(f,x2)｜≤A(x2-x1)u 本文对上述定理给出另一种证明方法，即利用Bernstein算子的数学期望表达式及概率论中相关的数字特征不等式来证明定理A，使其证明过程得到简化，并且我们把这种证明方法推广到一类概率型算子当中. 第三章，主要讨论了具有下列形式和性质的正线性算子的逼近性质： (1)Ltf(x)=Ef(Zt(x))x∈I，t∈T (2)E(Zt(x))=xE(Zt(x)-x)2=λ(t)ψ2(x)x∈I，t∈T其中I为R的子集，T={1，2，……}或T=(0，∞)，f为定义在I上实值可测函数，并且满足Lt｜f|＜∞，λ(t)是定义在T上的正函数，并且满足当t→∞时，λ(t)→0，ψ(x)为I上的连续函数，且Ax∈I0有ψ(x)＞0(I0为I的内邻域). C.Sanguesa[2]把具有形式(1)并且满足(2)的算子定义为中心的Bernstein型算子，并且讨论了这类型算子关于Ditzian-Totik模的A型逆不等式的证明，即证明下列不等式： W2ψ(f,√λ(t))∞≤Ci‖Lff-f‖(Ci为绝对常数)文献[2]表明了，对于上述不等式的证明，如果在通常证明方法，比如在Ltf的Taylor's展开式或Ltf的迭代中渗入概率思想，那么可以降低其证明的难度.另外，Rasul.A.Khan[3]在文献[4]基础上利用概率方法讨论了由Bleiman，ButzerandHahn引进的一个算子关于一阶连续模和二阶连续模的收敛速度，从而简化并且加强了[4]中的结果.本文在[2]和[3]基础上利用概率方法及K-泛函与二阶连续模之间的关系讨论中心的Bernstein型算子的逼近度，得到下面两个主要结果：｜Lt(f,x)-f(x)｜≤2(ψ(x)+1)ω(f，,√λ(t))和|Lt(f,x)-f(x)｜≤2C[ω2(f,√λ(t)·ψ(x)+λ(t)ψ2(x)‖f‖cn]其中C为常数，ψ(x)，λ(t)与(2)中相同. 作为上面两个结果的应用，本文对几个具体的中心的Bernstein型算子进行讨论，比如Bernstein算子，Szasz-Mirakyan算子及Gamma型算子等，分别得到它们关于一阶连续模和二阶连续模的逼近度.当然我们知道对于上述几个算子的逼近度可以由许多方法得到，比如[5]中介绍的Mamedov-Shisha量化方法，Devore-Freud量化方法等等，但本文所给的证明方法更加简单、明了. 第四章，主要讨论了正态分布型的Gauss-Weierstrass算子的一些逼近性质.首先给出了Gauss-Weierstrass算子关于数学期望表达式，即Gn(f,x)=√n/π∫+∞-∞f(t)e-n(t-x)2dt=Ef(Zxn) 其中{Zxn：n∈N.x∈(-∞,+∞)}为服从参数为(x，1/2n)的正态分布的可积的随机过程，其次我们利用这一表达式及概率的相关性质得到Gn(f，x)关于一阶连续模的逼近度，即｜Gn(f，x)-f(x)｜≤2ω(f，1/√2n)最后再利用上式进一步讨论了Gauss-Weierstrass算子在ψ-变差下的收敛速度，即1Vψ(Gnf-f,I)≤2CψVψ(f,I)p[4ω(f,1/√2n)]同时还得到一个关于Gnf在q-变差范数下一致收敛于f(x)的推论.

目录

文摘

英文文摘

第一章 综述

第二章 关于一类概率型算子的Lipschitz性质保存性的证明

§2.1引言

§2.2 一类正线性概率型算子的Lipschitz保存性

§2.3 在一些具体的概率型算子中的应用

第三章关于中心的Bernstein型算子的逼近

§3.1 引言及相关的定义和记号

§3.2 中心的Bernstein型算子的逼近估计

§3.3 在几个具体算子中的应用

第四章正态分布型的Gauss-Weierstrass算子的逼近性质

§4.1 正态分布型的Gauss-Weierstrass算子

§4.2 几个辅助结果

§4.3 关于Gauss-Weierstrass算子的逼近估计

参考文献

致谢

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