孤子方程精确解的Wronskian表示

摘要

在非线性演化方程的研究过程中，寻找方程的精确解是重要的课题之一。相比于众多已有的其他求解方法，Wronskian技巧结合Hirota双线性方法在推导拥有双线性形式的非线性演化方程的孤子解方面显得非常直接、有效。1971年，Hirota首次提出了扰动方法，并获得了KdV方程的N孤子解，该方法后来被命名为Hirota方法。在同一时期，通过Wronskian技术，N孤子解被表示成一种更加紧凑的形式。Satsuma给出了KdV方程多孤子解的Wronskian行列式表示。随后，Wronskian技术得到了Freeman和Nimmo的进一步发展。该技术的一个有意思的推广来自于Siriaunpiboon及其他相关作者，他们发现更多类型的解都可以通过Wronskian行列式来表示，如Positon，Negaton，有理解及混合解等。最近，马文秀等学者考虑wronskian条件方程的系数矩阵为其标准型，即对角矩阵或若儿当标准型，并由此对如何求解Wronskian条件方程给出了系统的分析。以上这些工作极大地促进了Wroskian技术的发展。
　　本文在已有的Wronskian技术基础上，探讨了其在孤子方程中的进一步应用及其新的发展。
　　第三章应用Wronskian技术，给出(3+1)-维Jimbo-Miwa方程最广泛的Wronskian条件，并求解得到该方程各类Wronskian型解，包括有理解，孤子解，positon解，negaton解，相交解等。最后探讨了这些Wronkian型解与使用其他求解方法得到的精确解之间的关系。
　　第四章叙述改进的Wronskian技术及其求解应用:发现一组恒等式，命名为双线性KP方程族的Wronskian恒等式，此外还发现关于D-算子的两个有用的性质。这些发现使得寻找具有双线性形式的偏微分方程的Wronskian解变得非常容易，而且简化了证明的过程。作为该新方法的应用，我们分别讨论了BKP方程族中的第一个、第二个方程，并提出其第一个Wronskian条件，得到其N-孤子解的Wronskian行列式表示，否定了BKP型方程的孤子解是表示成Pfaffian式而非Wronskian行列式的说法。此外，我们还将该方法应用到高维方程中，并讨论了两个已有的推广的BKP方程，得到其Wronskian条件方程。
　　第五章是对于文中研究内容的一些总结和展望。