广义椭圆积分与Ramanujan模方程解的性质

摘要

众所周知,Gauss超几何函数F(a,b;c;x)、完全椭圆积分Κ(r)和Ε(r)、广义椭圆积分Κa(r)和Σa(r)、广义Hersch-Pfluger偏差函数(ρ)κ(a,r)以及与其相关的一些其它的特殊函数在数论、拟共形理论、几何学等许多数学领域以及其它学科中都有着广泛而重要的作用。而广义椭圆积分作为最重要的特殊函数之一,一方面它是超几何函数的重要特例。另一方面,广义椭圆积分又是完全椭圆积分的推广。广义椭圆积分还与出现在广义模方程中的广义Gr(o)tzsch环函数μa(r)、广义Hiibner上界函数ma(r)、广义Hersch-Pfluger偏差函数(ρ)κ(a,r)、Agard偏差函数ηκ(a,t)和线性偏差函数λ(a,K)有着密切的联系。事实上,我们可以通过研究广义椭圆积分的性质来获得μa(r)、ma(r)、(ρ)K(a,r)、ηK(a,t)和λ(a,K)的性质。尤其是函数(ρ)K(a,r)的用初等函数给出的界经常依赖于由Κa(r)定义的函数μa(r)、ma(r)与某些初等函数组合的分析性质。因此,深入研究广义椭圆积分的性质及其应用具有重要意义。
　　 本文一方面通过深入研究广义椭圆积分Κa(r)和Εa(r)与某些初等函数的组合的性质,把完全椭圆积分Κ(r)和Ε(r)所具有的某些重要性质推广到Κa(r)和Ε(r),揭示了广义椭圆积分Κa(r)和Εa(r)的一些新的分析性质,并得到了一些函数不等式。同时,改进了完全椭圆积分Κ(r)和Ε(r)由初等函数给出的界。另一方面,通过研究函数μa(r)和ma(r)等与某些初等函数的组合的单调性和凹凸性等性质,获得了一些函数不等式,进而改进了广义Hersch-Pfluger偏差函数(ρ)K(a,r)的上下界,推广了Hersch-Pfluger偏差函数(ρ)K(r)的性质,加强了显式广义拟共形Schwarz引理和广义Ramanujan模方程解的估计。
　　 本文共分四章:
　　 在第一章中,主要介绍了本文的研究背景,并引入本文所涉及的一些概念、记号和已有结果。
　　 在第二章中,首先给出了一些由函数Κa(r)和Εa(r)分别与初等函数组合的一些分析性质,获得了一些函数不等式。然后,研究了由函数Κa(r)和Εa(r)所定义的一些函数的单调性和凹凸性,获得了一些函数不等式,并由此推广和改进了Κa(r)和Εa(r)的一些界。最后,通过讨论广义椭圆积分对参数a的依赖性,给出了广义椭圆积分的一些新的分析性质。
　　 在第三章中,通过研究广义Gr(o)tzsch环函数μa(r)和广义Hübner上界函数ma(r)的一些分析性质,获得了函数μa(r)与ma(r)的一些由广义椭圆积分表示的函数不等式。然后,运用第二章的结果及函数(ρ)K(a,r)与函数μa(r)、ma(r)的特殊关系,得到了函数(ρ)K(a,r)的一些用初等函数给出的更好的估计。
　　 在第四章中,主要研究并获得了广义Ramanujan模方程的解(ρ)K(a,r),广义Agard偏差函数ηΚ(a,t)和广义线性偏差函数λ(a,K)的一些分析性质。