分析中经典不等式和Fourier积分一致收敛性的推广研究

摘要

随着分析学的兴起，三角级数作为一个强有力的数学工具，必然是备受关注.1807至1822年，由于物理学的需要，Fourier级数也随之产生，并广泛地应用于热传导和弦振动问题.然而人们在进一步研究级数时发现对级数精确计算几乎是不可能的，于是人们试图从近似计算考虑，从而着手于级数收敛性的研究.其中在一致收敛性和平均收敛性问题中，三角级数和Fourier级数系数的单调递减条件及其推广是相关研究关心的焦点.
　　在研究三角级数的一致收敛性中，1916年英国学者Chaundy和Jollife最先建立了级数一致收敛的经典定理.之后陆续有不少学者减弱和推广了三角级数的单调性条件，先后提出了拟单调(QM)条件，剩余有界变差(RBV)条件，分组有界变差(GBV)条件，非单边有界变差(NBV)条件和均值有界变差(MVBV)条件.
　　本文在前人的基础上，就三角级数一致收敛性问题试图进一步推广研究.在研究过程中，将在Fourier分析中经常用到的三角不等式supn≥1|n∑k=1sinkx/k|≤3√π进行推广，从而扩大其应用范围.此外，在研究Fourier级数的Lp可积性时，发现在Leindler推广证明的Hardy-Littlewood重要不等式的过程中有一个明显的缺陷.本文就此建立了补充定理.最后基于张丽君和Korus的结论将复空间中的三角级数一致收敛性定理进一步推广到积分形式，建立复空间中的Fourier积分一致收敛性定理.
　　全文共分为四章来阐述:
　　第一章为绪论，首先介绍本文研究的背景和国内外研究现状，接着就文中即将涉及到的常用符号的定义也做出了一一阐述.此外还介绍了各种单调数列集合及其相互间的关系.
　　在第二章中，本章将最初由Telyakovskii推广的经典三角不等式中的单调条件进一步减弱.虽然王敏芝和赵易已经推广到了剩余有界变差(MVBV)条件并证明了定理在MVBV下的不可减弱性，但是鉴于存在MVBVS的“边界点”情形，本章将经典三角不等式推广定理的条件减弱到第二类上确界有界变差(SBV2)条件，并构造出不属于MVBVS而属于SBVS2的数列来满足三角不等式，说明定理是被本质性的推广的.
　　关于Leindler推广不等式证明过程的缺陷是在第三章中补充的.针对这个不足之处，本章建立了补充定理，并利用反证法加以证明.
　　在第四章中，通过重新确定复函数的单调递减性质来定义复空间中第二类上确界有界变差函数(SBVF2)，将三角级数的一致收敛性定理推广到积分形式，建立了Fourier积分在复空间中的一致收敛性定理.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 引言

1．2 常用符号及定义

1．3 单调数列集合及其逐步推广

1．4 数列集合的发展和相互关系

第2章 一个重要的三角不等式

2．1 引言

2．2 定理的证明

第3章 一个关于Leindler推广的不等式的注记

3．1 问题来源

3．2 定理的证明

第4章 复空间中的Fourier积分一致收敛性

4．1 引言

4．2 复空间中的SBVF2

4．3 定理的证明

参考文献

致谢

附录