流形上参数曲面的理论与方法

摘要

该文提出了一套全新的曲线曲面理论体系,称为广义有理参数曲线曲面(Generalized Rational Parametric Curve and Surface).广义有理参数曲线曲面定义在与控制网格拓扑同胚的微分流形上,以高度一般的势函数为基函数,其控制网格可以是任意的一维拓扑流形和二维可定向拓扑流形.广义有理参数曲线曲面是NURBS表示形式的一种推广,很好地克服了NURBS的各种缺点.其基本思想是首先建立物体的拓扑信息,然后加载几何信息来构造曲面,整个构造过程类似于将与控制网格拓扑同胚的微分流形经控制顶点拉伸后进行弹性形变.该文首先讨论了广义有理参数曲线曲面的理论基础,依次阐述了黎曼几何中关于流形、函数和映射的基本概念,并在此基础上提出了微分流形上势函数的定义.然后通过势函数来构造微分流形上的单位分解,将曲线曲面看作微分流形到拓扑流形的映射,给出了广义有理参数曲线曲面的整体理论框架,并对广义有理参数曲线曲面的基本性质进行了讨论.广义有理参数曲线曲面在表示形式和计算方法上具有高度的统一性,它不仅继承了NURBS的很多优良性质,比如局部控制性、凸包性、仿射和投影不变性等,而且可以直接表示裁剪曲面和闭合的曲线曲面.然后,该文分别对广义有理参数曲线和广义有理参数曲面进行了深入的研究.对于广义有理参数曲线,我们在第三章中对它的基函数设计、参数化方法、局部控制和局部特征设计等各个构造和设计环节进行了详细的讨论,并提出了新的二次曲线的精确构造方法.最后应用广义有理参数曲线对散乱数据进行插值拟合,它可以通过调整基函数的支撑域来优化方程的系数矩阵,因此提供了更高的数值稳定性.对于广义有理参数曲面,根据控制网格的拓扑结构,我们分成两种情况来考虑.对于具有简单拓扑结构,存在着一致的全局参数化的控制网格,我们将把控制网格直接映射到微分流形上,因此可以很容易地对曲面进行构造和控制.我们在第四章详细讨论了这种广义有理参数曲面的性质及其构造方法.然后,在第五章中,我们将控制网格进一步推广到任意可定向二维拓扑流形,提出了一个通用的方法将控制网格映射到与之拓扑同胚的微分流形上,统一了广义有理参数曲线曲面的构造过程.广义有理参数曲面可以进行精确控制,不仅易于表示局部特征,还提供了更多的方法来精确生成三维图元.最后,我们给出了相应的实现方法和试验结果,并指出了进一步的研究工作.

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

1几何造型技术

1.1点云模型

1.2体素表示

1.3多边形网格表示

1.4曲面表示

1.5分形几何模型

1.6粒子系统

2问题的提出与相关工作

2.1三角域上的NURBS

2.2有理高斯曲线曲面

2.3流形上的曲面

3本文的研究目标

4本文工作

5本文内容安排

第二章流形上曲线曲面的基本理论

1拓扑流形

1.1基本定义

1.2拓扑流形的分类

2微分流形

2.1基本定义

2.2简单的微分流形

3微分流形上的可微函数

4基于流形的曲线曲面

5小结

第三章一维微分流形上的参数曲线

1概述

1.1基本构造方法

1.2连续性

2参数化

3基函数

4统一性

5曲线的控制与修改

5.1权因子的修改

5.2控制顶点的修改

5.3基函数的修改

6圆锥曲线

6.1圆的表示

6.2椭圆的表示

7实现

7.1正向设计

7.2插值拟合

8小结

第四章简单微分流形上的参数曲面

1曲面构造过程

2参数化

2.1平面参数化

2.2柱面参数化

2.3球面参数化

3基函数

4统一性

5曲面绘制

6控制与设计

6.1曲面经过指定点

6.2曲面经过指定直线段

6.3局部特征控制

7旋转曲面与二次曲面

8实现

9曲面拟合

9.1曲面拟合算法

9.2重建三角网格

9.3实验结果

10小结

第五章任意二维流形上的曲面构造

1 概述

1.1基本定义

1.2曲面构造过程

2建立微分流形

2.1建立坐标卡

2.2转换函数

3基函数

4统一性

5实现

6小结

第六章总结与展望

1本文工作总结

2进一步研究工作

参考文献

攻读博士期间发表的论文

致谢