Landau-Lifshitz方程的有限差分格式与整体正则解

摘要

该文由两部分构成.在第一部分,我们研究一维Landau-Lifshitz方程非齐次边值问题和二维柱对称Landau-Lifshitz方程Neumann边值问题的有限差分格式.第二部分我们研究一维Landau-Lifshitz方程齐次Neumann边值问题和二维柱对称Landau-Lifshitz方程Neumann边值问题解的正则性.该文共由五章构成.第一章,介绍Landau-Lifshitz方程的物理背景,研究状况及该文的工作内容.第二章,考虑一维Landau-Lifshitz方程非齐次边值问题的有限差分格式.首先我们建立一个保范(保持了连续模型的性质)的差分格式,应用有限维欧氏空间上连续映射的不动点定理(Leray-Schauder定理)证明了离散解的存在性,然后证明了格式在适当的条件下逐点收敛于问题的光滑解,并得到了误差估计.在一系列先验估计的基础上,在H<'1>意义下,建立了收敛性和稳定性定理.最后数值实验表明,格式具有很好的精度和稳定性.第三章,我们将建立保范差分格式这一思想推广到二维柱对称Landau-Lifshitz方程并得到了收敛性和稳定性定理.第四章,首先我们利用空间半离散方法及先验估计得到了一维Landau-Lifshitz方程齐次Neumann边值问题局部正则解的存在性,继而在整体先验估计的基础上证明了整体正则解的存在性与唯一性.第五章,我们研究二维柱对称Landau-Lifshitz方程Neumann边值问题解的正则性及渐近性.首先对方程半离散,通过利用常微分方程组局部存在性定理及建立与方程组个数无关的先验估计得到局部正则解的存在性,借助于带参数的Growall不等式,我们证明了方程存在唯一整体正则解,且当参数趋近于零时,正则解趋近于参数等于零时方程的解.

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第一章绪论

1.1 Landau-Lifshitz方程的物理背景

1.2 Landau-Lifshitz方程的研究状况

1.2.1理论研究

1.2.2数值方法的研究

1.3本文的主要结果

第二章一维Landau-lifshitz方程非齐次边值问题的有限差分格式

2.1引言

2.2离散解的存在性

2.3离散解的估计

2.4 H1意义下离散解的收敛性

2.5H1意义下离散解的稳定性

2.6数值实验

第三章二维柱对称Landau-Lifshitz方程的有限差分格式

3.1引言

3.2离散解的存在性

3 3离散解的估计

3 4H1意义下差分格式的收敛性

3.5H1意义下差分格式的稳定性

第四章一维Landau-Lifshitz方程齐次Neumann边值问题的正则解

4.1引言

4.2局部光滑解的存在性

4.3整体估计

4.4定理1的证明

第五章二维柱对称Landau-Lifshitz方程的正则解及解的渐近行为

5.1引言

5.2局部解的存在性

5.3与λ无关的估计

5.4定理1.1的证明

参考文献

完成论文

致谢