非局部型色散波方程的散射理论

摘要

在本文中，主要介绍作者攻读博士学位期间，对具有Hartree型非线性项的色散波方程散射理论研究的一些结果.
　　在第一章，我们主要介绍该研究方向涉及到的、与本论文有关的一些概念、工具、方法以及研究的现状和进展，特别是解决本论文主要困难的基本思想和理念.分九个专题:色散波方程的概念、色散与Strichartz估计、对称与守恒律、临界与scaling分析、散射理论的概念、Morawetz型估计、方程的迭代结构、有限传播速度与因果律、紧性及其刻画.
　　在第二章，主要研究当空间维数d≥3时，Klein-Gordon-Hartree方程径向解的衰减估计.我们得到的衰减估计对所有H1临界及次临界情形均成立，即0＜γ≤4，γ＜d，其中Hartree型非线性项(V*|u|2)u中的位势V(x)=|x|-γ.这是通常的指标范围2＜γ≤4，γ＜d的拓展.作为衰减估计的直接结果，方程的散射理论在2＜γ≤4，γ＜d时成立.次临界情形证明利用反证法，假设衰减估计不成立，利用紧性构造和Gagliardo-Nirenberg不等式可以得到广义质量聚集的解序列.采用Ginibre-Velo处理Hartree方程的思想，我们首先建立一个Morawetz估计，并将其转化为有用的形式.利用这个Morawetz估计来排除这种质量聚集效应，最后得到衰减估计.对于临界情形，受Nakanishi处理局部型非线性Klein-Gordon方程思想的启发，利用Hartree型非线性项的对称性，我们开发源于线性部分的Morawetz估计，利用柱坐标径向和圆向上的Lesbegue空间分析、流形Sn-1上的Sobolev嵌入定理等工具建立了不依赖于非线性项的Morawetz估计，得到了径向临界情形的散射理论.
　　在第三章，我们研究一般初值、能量次临界Klein-Gordon-Hartree方程的散射理论.首先，经典的有限传播速度——光锥上的能量单调性质被卷积型非线性项破坏，我们建立了非局部型的Klein-Gordon方程的一个基本性质——因果律，这个性质能被看做是经典有限传播速度的替代，同时也拓广了Menzala-Strauss[39]的结果.众所周知，在非线性增长接近能量临界指标时，Klein-Gordon方程的散射理论要比Schr(o)dinger方程复杂.事实证明，这主要是因为Klein-Gordon方程解的高频部分色散衰减较差.我们利用频率分解来区分Klein-Gordon方程解的高低频本质不同的色散效应，利用高频质量的小性来克服高频色散较差的缺点，挖掘局部时间衰减隐含着局部时空有界的事实，利用时间正则性换取空间正则性，最终得到了适当位势假设条件下的Klein-Gordon-Hartree方程的时间衰减估计.这个结果包含了特殊的位势|x|-γ，2＜γ＜min(4，n)，其覆盖了所有次临界情形.进而，通过开发Klein-Gordon方程的Strichartz容许簇选取的灵活性，我们建立了次临界情形的波算子存在性和渐进完备性，即散射理论.该论文的方法对局部型非线性项也是适用的，这拓广了Brenner的结果到所有次临界情形，也避免了使用Ginibre-Velo引入的（时间上）的Birman-Solomjak空间技巧，简化了证明.
　　第四章在空间维数(n≥5)下研究带有调和位势的非聚焦型(defocusing)能量临界Hartree方程在能量空间∑=H1∩F-H1的整体适定性及其散射理论.由于能量泛函中符号不一致，能量守恒不能提供有用的先验估计.用Galileo算子J(t)和H(t)代替i(△)和x表示能量泛函E(u(t))=‖‖J(t)u(t)‖22-‖H(t)u(t)‖22+‖(V*|u(t)|2)|u(t)|2‖1，分解该能量为两部分，利用Hartree非线性项位势V的径向对称性得到分解能量的单调不升性质，从而得到了有效地能量控制，弥补了非正定能量守恒定律的不足.Galileo算子与方程的线性算子是可交换的，我们利用Hartree型非线性项的某种对称性建立了Galileo算子作用于该项的类似导数的性质，这允许我们建立局部适定性.基于Bourgain和Tao的方法，我们利用一个局部化的Morawetz估计得到了整体适定性理论.由于上述能量控制依赖于时间，所以不能直接得到整体时空可积性.这还需要时间衰减估计，而势能‖(V*|u(t)|2)｜u(t)|2‖1的衰减性质难以转化为有用的形式.我们转向一个源于方程的线性部分而不是非线性部分建立的衰减估计，最终完成了散射理论的证明.
　　第五章研究一类Hartree方程i(6)tu=Δu+u(V*|u|2)散射算子的实解析性，其散射理论已经由Ginibre-Velo[27]得到.Klein-Gordon方程散射算子的解析性已经被[1][37]得到.对于Hartree方程，散射算子没有（复）解析性，我们把方程的解分为实部虚部，把方程转化成方程组形式，首次研究散射算子的实解析性.通过引入了二重时间截断和二重空间截断来分解不同的奇性和困难，充分开发和构造紧性条件，如紧性嵌入定理、紧集的有限ε覆盖和时空空间上的Arzala-Ascoli定理等等，我们克服了Schr(o)dinger方程因为不具备Klein-Gordon方程良好性质带来的困难，比如有限传播速度和色散估计中时间衰减的可积性.另外，这种方法也简化了Kumlin[37]文中定理1.1的证明.所用工具涉及到解析隐函数存在定理、开映像定理、紧算子的Fredholm二择一定理、时空空间上的Arzala-Ascoli定理、紧集的有限ε覆盖、Rellich-Kondrachov紧性嵌入、Fréchet导数的概念、时空导数的转换、Gronwall不等式、Cantor对角化过程和紧算子逼近定理等等，该问题的解决是多种分析工具的综合运用.

目录

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摘要

第一章 绪论

§1．1 色散波方程

§1．2 色散与Strichartz估计

§1．3 对称与守恒律

§1．4 临界与scaling分析

§1．5 散射理论

§1．6 Morawetz型估计

§1．7 方程的迭代结构

§1．8 有限传播速度与因果律

§1．9 紧性及其刻画

第二章 径向Klein-Gordon-Hartree方程解的衰减估计

§2．1 引言

§2．2 Strichartz估计与适定性理论

§2．3 Morawetz型估计

§2．4 能量次临界情形

§2．5 能量临界情形

第三章 因果律、色散与非局部型Klein-Gordon方程的散射理论

§3．1 引言

§3．2 Cauchy问题

§3．3 散射理论Ⅰ：波算子的存在性

§3．4 拓广的因果律和扰动理论

§3．4．1 拓厂的凶果律

§3．4．2 稳定性理论

§3．5 散射理论Ⅱ：渐进完备性

§3．5．1 主要困难分析

§3．5．2 局部时间衰减

§3．5．3 整体时间衰减

§3．5．4 整体时空可积性

第四章 具有调和位势项的能量临界Hartree方程的整体适定性与散射

§4．1 引言

§4．2 Strichartz估计与Galileo算子

§4．2．1 Strichartz估计

§4．2．2 Galileo算子

§4．3 局部质量守恒与Morawetz不等式

§4．3．1 局鄙质重哥怛

§4．3．2 Morawetz不等式

§4．4 局部理论与爆破准则

§4．5 扰动结果

§4．6 整体适定性

§4．6．1 机制的建立

§4．6．2 一个聚集结果

§4．6．3 排除聚集

§4．7 散射理论

第五章 Hartree方程散射算子的实解析性

§5．1 引言

§5．2 定理5．2的证明

§5．3 引理5．4的证明

§5．4 定理5．1的证明

附录

参考文献

攻读博士学位期间发表或待发表的主要论文

致谢