曲线曲面的几何约束造型与近似合并

摘要

曲线曲面是计算机辅助几何设计(CAGD)系统中的基本工具，CAGD的大多数操作都是以曲线曲面为对象的.而无论是根据给定的几何信息构造满足几何约束条件的曲线曲面，还是为压缩几何信息的数据量而近似合并曲线曲面，它们都是在实际生产中被广泛应用的操作，因而一直成为人们关注的热点之一.本文围绕这两类问题展开了深入的研究，取得了以下丰富的创新性成果：
　　 1.四阶均匀α-三角/双曲多项式B样条曲线的保形插值：基于几何约束中位矢约束的曲线造型，其实质上就是构造插值所有给定点的曲线.而保形插值，就是使得插值曲线能够保持住型值点的外形特点.构造四阶均匀α-三角/双曲多项式B样条曲线的核心思想是，把一个参数化的奇异多边形与三角/双曲多项式B样条按某一个形状因子调配，自动生成带形状参数且插值给定平面点列的C2或G1连续的三角/双曲多项式B样条曲线.它既继承了均匀三角/双曲多项式B样条曲线的特点，也继承了奇异混合样条插值曲线在不要求解方程组或进行繁复的迭代的前提下进行插值的优点.为使每条与形状参数相应的插值曲线都能保单调或保凸，只需把曲线一阶导矢的两个分量或者曲率符号函数分别转化为类Bernstein多项式，从而利用二次Bernstein多项式的非负性条件，简单快捷地得到形状参数α保证曲线保单调或保凸的取值范围.
　　 2.规避障碍物的G2连续低阶样条曲线的构造：以基于几何约束中位矢约束的曲线造型对应的形状因子为临界值，得到能够规避障碍物的形状因子的范围.首先，对由线段构成的，能够规避障碍物的引导多边形进行光顺，得到G2连续的样条曲线.既给出了这种样条曲线的有理二次参数形式，又给出了隐函数形式.其主要思想是首先对引导多边形进行改进，插入部分中点以作为新的控制顶点.然后根据位矢约束求解每一段曲线的形状因子，并对所有的形状因子进行比较，取最大的一个来构造整条曲线，使之能够规避所有障碍物的凸包，并保持G2连续.与以往方法相比，本文构造的曲线具有以下优点：1.次数较低，却仍能够保证曲线整体G2连续；2.保形性良好，曲线与引导多边形具有相同的拐点；3.无需解高次方程，直接计算就可得到结果；4.控制多边形直观可见，便于对曲线进行控制.特别地，三次泛函样条曲线还可进行局部调整，但仍能保持G2连续.最后列举了多个数值实例，用来验证算法的简单与有效.
　　 3.三角Bèzier曲面修改与调整方法：提出了一种基于几何约束中位矢约束和法向约束的三角Bèzier曲面修改与调整方法.调整后的曲面满足多个参数点处位矢和相应法矢向量的几何约束.在角点无约束或者角点处边界曲线高阶连续的约束条件下，通过Lagrange乘子法，分别得到不同的调整曲面，使得距离函数在L2范数下达到最小.该算法简单有效，适用于各类CAD系统的交互设计.
　　 4.曲线的近似合并：讨论了两类曲线，B样条曲线的近似合并以及有理Bézier曲线的区间近似合并.对于B样条曲线，利用极值条件，通过求解一个线性方程组，使得距离函数在L2范数下达到极小，合并曲线的控制顶点可用矩阵显式表达，同时原曲线与合并曲线间距离函数的L2范数也可以精确得到.然后这个方法被成功地推广到两相邻非均匀B样条曲面的近似合并以及多段非均匀B样条曲线的一次性近似合并上.最后，利用齐次空间和二次规划问题，还探讨了非均匀有理B样条曲线的近似合并，同样得到了很好的结果.对于有理Bèzier曲线，首先利用顶点摄动法，使得摄动误差在某个范数下达到最小，得到两条有理Bèzier曲线的多项式近似合并曲线，以此作为区间曲线的中心表达形式.然后利用已有的计算结果直接得到区间长度固定的误差曲线，或者利用二次规划得到逼近效果更佳的区间长度不固定的误差曲线，两种方法都可以通过中点离散技术进行优化.如果对误差进行限制，还可以得到端点插值的合并区间曲线.
　　 5.三角Bèzier曲面的近似合并：基于三角Jacobi基的正交性，以及其与三角Bèzier基之间的基转换矩阵，得到两张或四张相邻m阶三角Bèzier曲面与所求n(n≥m)阶近似合并三角Bèzier曲面的距离函数的L2范数.然后分别在角点无约束或者角点处边界曲线高阶连续的约束条件下，通过最小二乘法分别得到不同的合并三角Bézier曲面，使得距离函数在L2范数下达到最小.合并曲面的控制顶点可用矩阵显式表达，同时原曲面与合并曲面间距离的L2范数也可以精确得到.特别地，通过提高合并三角Bèzier曲面的次数可减小合并误差，改善合并效果.该方法计算简单直接，适用性强，逼近效果佳.

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

1.1 计算机辅助几何设计发展简史

1.2 几何约束造型概论

1.3 平面曲线的保形插值

1.3.1 带形状参数的平面曲线的保形插值

1.3.2 有理样条曲线的保形插值

1.3.3 细分曲线的保形插值

1.4 路径规划问题

1.5 几何约束条件下的曲线曲面的外形修改与调整

1.6 曲线曲面的近似合并

1.6.1 降阶逼近

1.6.2 近似合并逼近

1.7 本文的主要研究内容

第二章 平面曲线的保形插值

2.1 引言

2.2 单调点列与凸点列的定义

2.3 奇异混合样条插值曲线

2.3.1 四阶均匀a-B样条插值曲线

2.3.2 四阶均匀a-三角多项式B样条曲线

2.3.3四阶均匀a-双曲多项式B样条曲线

2.4 两类保单调插值的奇异混合样条插值曲线

2.4.1 a-三角多项式B样条曲线的保单调插值

2.4.2 a-双曲多项式B样条曲线的保单调插值

2.4.3 整条奇异混合样条插值曲线的单调性

2.5 四阶均匀a-双曲多项式B样条曲线的保凸插值

2.5.1 曲线段Hj(t，a)的曲率符号函数

2.5.2 曲线段Hj(t，a)无拐点的充要条件

2.5.3 曲线段Hj(t，a)保凸插值的充要条件

2.5.4 整条曲线段Hj(u，a)保凸插值的充要条件

2.6 数值实例

2.6.1 两类奇异混合样条插值曲线的保单调插值

2.6.2 均匀a-双曲多项式B样条曲线的保凸插值

2.7 小结

第三章 规避障碍物的G2连续低次样条曲线

3.1 引言

3.2 有理二次Bézier曲线的构造

3.2.1 有理二次Bézier曲线的G2连续拼接

3.2.2 有理二次Bézier曲线的障碍物规避

3.3 泛函样条曲线

3.3.1 泛函样条曲线及其障碍物规避

3.3.2 G2连续的二次泛函样条曲线

3.3.3 G2连续的三次泛函样条曲线

3.4 整体G2连续的样条曲线

3.5 数值实例

3.6 小结

第四章 基于几何约束的三角Bézier曲面的形状修改与调整

4.1 引言

4.2 预备知识

4.3 插值位矢与法矢的形状调整

4.4 角点处边界曲线高阶连续的形状调整

4.5 数值实例

4.6 小结

第五章 两相邻曲线的近似合并

5.1 引言

5.2 B样条曲线曲面的近似合并

5.2.1 问题的描述

5.2.2 两条相邻B样条曲线的合并

5.2.3 两张相邻B样条曲面的合并

5.2.4 多段B样条曲线的一次性合并

5.2.5 两相邻NURBS曲线的合并

5.3 有理Bézier曲线的区间近似合并

5.3.1 问题的描述

5.3.2 近似合并中心曲线的获得

5.3.3 等区间宽度的误差曲线

5.3.4 不等区间宽度的误差曲线

5.3.5 端点插值的近似合并区间曲线

5.4 数值实例

5.5 小结

第六章 三角Bézier曲面的近似合并

6.1 引言

6.2 预备知识

6.2.1 三角Bézier曲面

6.2.2 三角Jacobi基

6.3 问题的提出

6.3.1 两张相邻三角Bézier曲面的近似合并

6.3.2 四张相邻三角Bézier曲面的近似合并

6.4 两张相邻三角Bézier曲面的近似合并

6.4.1 三角Bézier曲面的离散

6.4.2 无角点约束的近似合并

6.4.3 带角点约束的近似合并

6.5 四张相邻三角Bézier曲面的近似合并

6.5.1 三角Bézier曲面的离散

6.5.2 边界约束的近似合并曲面

6.6 数值实例

6.7 小结

第七章 未来研究展望

参考文献

博士期间完成的论文情况

致谢