基于对数均值回复模型的VIX建模

摘要

自从2004年3月26日芝加哥期权交易所(CBOE)专门成立期货交易所CFE(CBOE Future Exchange)并开始交易基于S&P500波动率指数VIX的期货，过去几年中波动率已经被交易员、投资者和基金经理广泛接受为一种资产类型，并用于投资、分散和对冲资产组合中的集中度和尾部风险。2006年2月24日，CBOE又推出了基于VIX指数的的期权。现在，VIX期权已经成为CBOE交易最为活跃的期权系列。
　　本论文主要工作在于对VIX指数进行独立建模。部分文献中对VIX采用一致性建模方法。该方法以S&P500指数(SPX)和它的随机波动率建模为起点，并且基于这个动态模型根据VIX的定义得到VIX表达式，从而可以基于这个表达式对VIX期货和VIX期权进行定价。与文献中VIX指数的一致性建模方法不同，独立建模方法直接指定VIX指数的动态过程，并基于这个动态过程对VIX衍生品进行定价。
　　虽然文献中有关于对数均值回复VIX模型（MRLR）的研究，目前尚未有文献考虑具有随机波动率的MRLR模型用于刻画VIX期权市场中的正向波动率偏斜。文献中也没有比较基于纯粹扩散的MRLR模型与考虑跳扩散和/或随机波动率的MRLR模型的优劣。而且，大部分现有文献注重推导VIX期货和期权的静态定价公式，而没有研究VIX期货的动态性质、VIX期货和VIX期权的校正与对冲策略，以及从远期方差互换到VIX期货的凸度调整。其中，远期方差互换可以用流动性很高的方差互换进行复制，并且能够用于估计MRLR模型中的波动率的波动率（vol-of-vol）参数。
　　本文考虑了四个对数均值回复的VIX模型。第一个模型是纯粹基于扩散的的VIX模型，并且称为MRLR模型。之后，本文将这个基本的MRLR模型推广到包含泊松跳或随机波动率，从而得到推广后的MRLRJ模型和MRLRSV模型。最后，本文在VIX指数动态过程中同时考虑泊松跳和随机波动率，并得到一个最全面的MRLRSVJ模型。
　　对于这四个模型，本文推导了它们的转移概率密度函数或者条件特征函数。基于这些结果，本文推导了VIX期货和VIX期权的定价公式。为了能够很好的拟合VIX期货期限结构，本文假设VIX动态过程的长期均值是时变函数，并且用这个函数来拟合VIX期货期限结构。此外，扩散、泊松跳和随机波动率的参数被用于拟合VIX隐含波动率曲面。
　　本文建议了两种参数校正方法。对于MRLR形式的VIX模型，参数校正的第一个阶段是对VIX指数或者VIX期货中波动率的波动率(vol-of-vol)的拟合，从而决定vol-of-vol的扩散、泊松跳和随机波动率参数可以被估计出来。这个校正阶段的第一种方法是用这些参数拟合VIX隐含波动率曲面。第二种方法是将这些参数用于拟合远期方差互换中的VIX凸度。之所以拟合远期方差互换，是因为它包含VIX指数和VIX期货的的凸度并且方差互换市场的流动性非常高。基于第一阶段的参数拟合，VIX指数的长期均值函数可以用于拟合VIX期货的期限结构。
　　除了VIX期货和VIX期权的静态定价公式，本文还推导了VIX期货的动态过程。本文的结论指出，MRLR模型下VIX期货服从一个几何布朗运动，MRLRJ模型下VIX期货服从跳扩散模型，MRLRSV模型下VIX期货服从随机波动率模型，以及MRLRSVJ模型下VIX期货服从随机波动率跳扩散模型。
　　本文还推导了基于对数均值VIX模型下的VIX期货与期权对冲策略。由于VIX指数本身不是可交易资产，投资者不能直接建立该指数的交易头寸。文献中的研究结果指出，较短期限的VIX期货对下一个期限的VIX期货的走势具有很好的预测能力。因此，用较短期限的VIX期货对冲较长期限的VIX期货是一个非常自然的对冲策略并可以期待这个策略表现较好。此外，VIX期权作为基于VIX指数的期权，它也可以视为基于具有同样期限的VIX期货的期权。从而，用较短期限的VIX期货合约对冲较长期限的VIX期权合约也是非常自然的对冲策略。本文中推导了基于上述对冲策略的VIX期货与VIX期权的对冲公式。
　　最后，本文用数值分析比较四个模型对VIX隐含波动率曲面的拟合效果。文中结果指出,MRLR模型完全不能产生VIX期权的正向隐含波动率偏斜。与此对比，MRLRJ模型和MRLRSV模型能够同等程度地产生正向波动率偏斜。然而，最全面的MRLRSVJ模型对提高波动率偏斜拟合效果起到很小的作用。相反，这个复杂模型会导致更多参数需要估计并且降低了模型参数的稳定性。

目录

声明

致谢

摘要

1 引言

2 VIX建模综述

2．1 一致性方法

2．2 独立性方法

2．3 两类方法对比

3 对数均值回复模型

3．1 MRLR动态过程与分布

3．2 VIX期货与VIX期权定价

3．3 VIX期货与VIX期权校正

3．4 VIX期货与VIX期权对冲

3．5 远期方法互换与凸度调整

4 对数均值回复跳模型

4．1 MRLRJ动态过程与条件特征函数

4．2 VIX期货与VIX期权定价

4．3 VIX期货与VIX期权校正

4．4 VIX期货与VIX期权对冲

4．5 远期方法互换与凸度调整

5 对数均值回复随机波动率模型

5．1 MRLRSV动态过程与条件特征函数

5．2 VIX期货与VIX期权定价

5．3 VIX期货与VIX期权校正

5．4 VIX期货与VIX期权对冲

5．5 远期方法互换与凸度调整

6 对数均值回复随机波动率跳模型

6．1 MRLRSVJ动态过程与条件特征函数

6．2 VIX期货与VIX期权定价

6．3 VIX期货与VIX期权校正

6．4 VIX期货与VIX期权对冲

6．5 远期方法互换与凸度调整

7 数值分析

7．1 市场数据与数据处理

7．2 目标函数

7．3 校正结果

8 结论

参考文献

攻读博士学位期间主要研究成果

个人简历